Makalah ini Disajikan pada diskusi Ilmiah
Dosen-dosen Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan -Universitas Terbuka
Unit Program Belajar Jarak Jauh (UPBJJ)-UT Purwokerto
Tanggal 22 Desember 1999
di Ruang Aula Universitas Terbuka UPBJJ Purwokerto
Oleh :
Saryanto
Mengetahui, Telah dilaksanakan
Kepala UPBJJ-UT Purwokerto Hari/ Tanggal : Rabu, 22 Desember 1999
Penyelenggara Diskusi Ilmiah
Ketua
ttd ttd
Drs. Lestanto Unggul Widodo, MS Drs. Soejoto
NIP. 130801794 NIP. 130530059
DEPARTEMEN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
UNIVERSITAS TERBUKA UPBJJ PURWOKERTO
I. Pendahuluan
Letak Wilayah Kepulauan Indonesia secara geografis terletak di antara dua benua yaitu Benua Asia dan Benua Australia, Serta diapit oleh dua samudera yaitu Samudera Indonesia dan Samudera Pasifik. Penduduk yang menghuni wilayah kepulauan Indonesia jumlahnya menduduki urutan terbesar kelima setelah RRC, India, Rusia, Amerika Serikat.
Kemajuan Ilmu Pengetahuan dan teknologi (IPTEK)di Indonesia, terutama pada peralatan teknik kedokteran dan industri obat-obatan dan industri jamu berdampak positip terhadap peningkatan kese- hehatan masyarakat Indonesia. Keberhasilan program Keluarga Berencana (KB) juga berdampak positip terhadap pengendalian kelahiran yang tinggi, tingkat kematian menurun serta angka usia harapan hidup penduduk meningkat.
Jika tidak diantisipasi sejak dini, sejuta harapan hidup kelangsungan hidup penduduk Indonesia akan terancam oleh ledakan penduduk yang konstan karena tidak diimbangi oleh pertambahan bahan pangan.
Tepatlah apa yang dikatakan oleh Thomas Robert Malthus bahwa
: “ Jika tingkat pertambahan penduduk konstan maka pertambahan penduduk akan
bertambah menurut formula Deret Ukur ( deret Geometri), sedangkan pertambahan
bahan pangan akan bertambah mengikuti
formula Deret Hitung(deret Arithmatika).
Berbeda dengan Daldjoeni(1981:xx), menamakan pertambahan
penduduk konstan, dengan istilah pertambahan penduduk eksponsial. Hal itu tidak
perlu dipermasalahkan, yang penting
adalah bagaimana cara memprediksi pertambahan penduduk konstan atau
eksponsial setiap tahun.
Untuk
menghitung pertambahan penduduk yang tepat tiap tahun, perlu dilakukan sensus
penduduk. Hali itu tidak mungkin dilakukan sensus penduduk setiap tahun, karena
diperlukan biaya yang cukup besar. Sehingga untuk menghemat biaya , sensus
dilakukan tiap 10 tahun sekali. Sedangkan untuk memprediksi pertambahan penduduk tiap tahun perlu dicari dengan menggunakan formula tertentu. Dengan formula matematika apakah pertambahan
penduduk tiap tahun dapat diprediksi?
Dari uraian
di atas penulis ingin membahas makalah ini dengan Judul : “ Suatu Tinjauan
Teori Perkiraan Jumlah Penduduk Indonesia dengan Fungsi Eksponen”
II. Rumusan Masalah
Yang menjadi fokus masalah dalam makalah
ini adalah fungsi Eksponen, sehingga rumusan masalahnya dapat disusun seperti
tersebut di bawah ini.
A. Apakah hakekat fungsi Eksponen ?
B. Mengapa fungsi Eksponen digunakan untuk memprediksi
pertambahan penduduk setiap tahun?
C. Bagaimana cara memprediksi pertambahan penduduk Indonesia
setiap tahun?
III. Tujuan
Tujuan yang
hendak dicapai dalam penulisan makalah ini adalah agar para pembaca dapat:
A. Menganalisis
hakekat Fungsi Eksponen
B. Mendeskripsikan
Fungsi Eksponen yang terkait dengan prediksi pertambahan penduduk Indonesia
setiap
tahun.
C. Mengaplikasikan
Fungsi Eksponen dalam memprediksi pertambahan penduduk Indonesia tiap tahun.
D.Dampak
pengiring apakah setelah anda menguasai
ilmu pengetahuan tersebut?
IV. Pembahasan
A. Hakekat Fungsi Eksponen
IV. Pembahasan
A. Hakekat Fungsi Eksponen
Untuk mengawali pembahasan fungsi
Eksponen, perlu penulis ketengahkan lebih dulu tentang sifat-sifat bilangan
Eksponen atau bilangan berpangkat seperti tersebut di bawah ini.
1. ap . aq = ap
+ q
2. a0 = 1, syarat a≠0
3. ap/ aq = ap
- q
4. a - p = 1/ap
, syarat a≠0
5. (ap)q = apq
6. am/n = nÖ(am)
7. (a.b)p = ap .
bp
Agar lebih memahami sifat-sifat bilangan eksponen , perhatikan contoh di
bawah ini.
(83
.45)/(16)2 =
. . . ?
Jawab
:
(83
.45)/(16)2 = { (23)3 . (22)5}/(24)2
= {29.210}/28 . . .sifat 5
= 29 + 10/28 . . . . sifat 1
= 219/28
= 219-8 . . . . sifat 3
= 211
Selanjutnya untuk memahami tentang fungsi atau pemetaan , diperlukan
tiga hal yaitu
1.
Himpunan A
2.
Himpunan B
3. Suatu
kalimat terbuka yang merupakan aturan yang mengaitkan tiap elemen dari x ε
A de-
ngan
suatu elemen tunggal y ε B..
Agar lebih jelas perhatikan gambar diagram panah
tersebut di bawah ini.
Gambar 1
Dari
diagram panah (Gambar 1) tersebut tampak bahwa:
A =
(1,2,3,4)
B =
(2,4,6,8)
Setiap elemen himpunan A dihubungkan dengan tepat satu elemen himpunan
B. Re-
lasi yang demikian menurut Pantur
Silaban (1989 : 48) bahwa : “ Andaikan tiap-tiap elemen
dalam
sebuah himpunan A ditetapkan melalui beberapa macam cara, sebuah elemen tung-
gal dari
himpunan B disebut fungsi atau pemetaan”.
Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi itu ditulis dengan symbol :
f f :A
→ B. Dibaca f memetakan A ke B.
Dari diagram panah (gambar 1)
tersebut di atas dapat dibaca sebagai berikut :
1. f
memetakan 1 elemen A ke 2 elemen B atau dikatakan 2 adalah peta dari 1 oleh f
dan ditulis f(1) = 2.
2. f
memetakan 2 elemen A ke 4 elemen B atau dikatakan 4 adalah peta dari 2 oleh f
dan ditulis f(2) = 4.
3. f
memetakan 3 elemen A ke 6 elemen B atau dikatakan 6 adalah peta dari 3 oleh f
dan ditulis f(3) = 6.
4. f
memetakan 4 elemen A ke 8 elemen B atau dikatakan 8 adalah peta dari 4 oleh f
dan ditulis f(4) = 8.
Dengan perkataan lain maka jika sebuah fungsi f memetakan setiap x ε A dengan tepat
f ke satu anggota y ε B, dapat ditulis dengan : f :
x → y. Dibaca y adalah peta dari x oleh
f, atau
f :
x → y = fx).
Dari gambar diagram panah (gambar 1), di atas dapat ditulis dengan :
Gambar 2.
f : x → ax
f = {(x,y) / y = ax , a > 0 , a ≠1} fungsi eksponen . Dibaca : syarat fungsi eksponen
adalah bilangan pokok harus
positip dan tidak boleh sama
dengan satu, atau ditulis
dengan simbol : a > 0 dan a ≠ 1.
Contoh :
a = sebagai bilangan
pokok(basis)= 2
x = sebagai pangkat (
eksponen) = 0, 1, 2, 3, 4, . . . ..
Jika nilai-nilai fungsi
tersebut di atas dimasukan dalam
tabel adalah seperti
tersebut di bawah ini.
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Y = 2x
|
1
|
2
|
4
|
8
|
16
|
Dengan menggunakan
tabel nilai-nilai fungsi
tersebut kita dapat
menggambar grafik fungsi eksponen:
Gambar 2.
Dari uraian di
atas, dapat disimpulkan bahwa grafik
fungsi eksponen y = f(x)= ax, dimana nilai bilangan
pokok (a > 0dan xε
R)grafiknya dari arah kiri ke kanan
senantiasa naik, artinya
jika nilai x bertambah maka
bertambah pula nilai y.
Pertambahan itu makin lama makin
cepat dan dikatakan tumbuh
secara eksponsial.Apabila se-
suatui itu tumbuh
(berkembang) seperti tampak pada
gambar 2, maka sesuatu itu
disebut tumbuh secara
eksponsial.
Grafik fungsi y = f(x)= k.ax, dengan bilangangan
pokok ( a= (1 + p), dan p>0, maka y = f(x)= k.ax
berubah menjadi :
f(x)= k.a( 1 + p)x,
dengan k>0.
f(x)= k.a( 1 + p)x,
disebut formula pertumbuhaneksponsial
atau pertumbuhan
geometri.
Akan tetapi jika f : x
→ ax, f = {(x,y) / y = ax , 0 < a < 1, dan x ε R.
Misal :
a = sebagai bilangan pokok(basis)=
1/2
x = sebagai pangkat (
eksponen) = 0, 1, 2, 3, 4, . . . ..
Jika nilai-nilai
fungsi tersebut di atas dimasukan
dalam tabel adalah seperti
tersebut di bawah ini.
x
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
Y = (1/2)x
|
8
|
4
|
2
|
1
|
1/2
|
1/4
|
Dengan menggunakan
bantuan tabel nilai-nilai fung-
si, kita menggambar grafik
fungsi eksponen seperti tersebut
di bawah ini.
Gambar 3.
Grafik fungsi y = f = {(x,y) / y = ax , 0 < a < 1, dan x ε R, lihat (gambar 3),
grafiknya dari kiri ke kanan senantiasa turun artinya jika
nilai x menurun maka nilai y menurun
pula. Penurunan itu makin
lama makin cepat sehingga dikatakan menyusut atau meluruh secara
eksponsial. Jika
sesuatu itu menurun seperti tampak pada (gambar 3) sesuatu itu disebut menyusut
atau
meluruh secara eksponsial,
Grafik fungsi y = f
= {(x,y) / y = k.ax , jika 0 < a < 1, dan x ε R, lihat
(gam bar 3), Apabila a = (1 – p) dan p >0, berubah menjadi y =f(x) = k.( 1 – p)x .
f(x)
= k.(
1 – p)x , merupakan formula penyusutan eksponsial atau
peluruhan eksponsial
Dari uarian di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi
eksponen dapat digunakan
untuk mengetahui sesuatu itu
sedang berkembang atau
sedang mengalami penurunan.
Dari urain di atas, bahwa fungsi eksponen bemanfaat
untuk mengetahui sesuatu itu
sedang berkembang
atau sedang mengalami penurunan.
Formula fungsi eksponsial dapat digunakan dalam bidang sosial, ekonomi dan
budaya antara
lain untuk :
1.Menghitung perkembangan
tabungan di Bank
2. Menghitung pertumbuhan bakteri
3. Memprediksi pertumbuhan
Penduduk.
Keunggulan formula fungsi eksponsial dalam mencari solusi pertambahan penduduk lebih menghemat biaya serta lebih cepat jika dibandingkan dengan cara sensus.Keunggulan lainnya adalah jika untuk mengetahui jumlah penduduk menunggu hasil sensus adalah terlalu lama yaitu menunggu sepuluh tahun. Akan tetapi kelemahannya jumlah penduduk yang diperoleh adalah kurang akurat karena sifatnya hanya perkiraan saja.
Keunggulan formula fungsi eksponsial dalam mencari solusi pertambahan penduduk lebih menghemat biaya serta lebih cepat jika dibandingkan dengan cara sensus.Keunggulan lainnya adalah jika untuk mengetahui jumlah penduduk menunggu hasil sensus adalah terlalu lama yaitu menunggu sepuluh tahun. Akan tetapi kelemahannya jumlah penduduk yang diperoleh adalah kurang akurat karena sifatnya hanya perkiraan saja.
Senada
dengan pernyataan di atas, seorang pakar matematika juga mengemukakan
pendapatnya seperti berikut :
“Ruseffendi(1991: 28), menulis
pendapat Kline bahwa : Matematika bukanlah pengetahuan yang menyendiri yang
dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya mate-matika terutama untuk
membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan social, ekonomi dan
alam”.
C. Memprediksi Jumlah Pertambahan Penduduk Indonesia Setiap Tahun
Berdasarkan data sensus tahun
1971, jumlah penduduk Indonesia = 119232499 jiwa dan data sensus tahun 1981,
penduduk Indonesia berjumlah 147383075 jiwa( Daldjoeni , 1981:248).
Jika data kedua hasil sensus tersebut
digunakan untuk mencari tingkat pertambahan penduduk Indonesia tiap tahun, serta mencari berapa jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1977?
Untuk mencari tingkat pertambahan
penduduk Indonesia setiap tahun disusun langkah-langkah sebagai berikut:
1. Susun
barisan Geometri
2. Cari
rasio pertambahan geometri
3. Cari
jumlah penduduk tahun tertentu.
!. Susun barisan
Geometri
U1, U2,
U3, . . . .
U1 =
suku pertama (data sensus 1971)
= 119232499
U2 =
suku kedua
2. Menghitung
Rasio Pertambahan Penduduk Indonesia
Untuk menghitung
rasio pertambahan penduduk selama 10 tahun, digunakan rumus :
r = rasio = U2/U1 = 147383075/119232499
r = 1,2361
Untuk mencari rasio pertambahan
penduduk setiap tahun, dihitung dengan formula
sebagai
berikut :
r
= ( 1 + r ‘ ) 10
1,2361 = ( 1 + r ‘ ) 10
log 1,2361 = log ( 1 + r ‘ ) 10
glog an = n glog
a
log 1,2361 = 10 log
( 1 + r ‘ )
0,0920
= 10 log ( 1 + r ‘
)
0,0920 /10 = log ( 1 + r ‘ )
0,0092 =
log ( 1 + r ‘
)
1,02141 =
1 + r’
r’ = 1,02141 – 1
r’ = 0,02141
Jadi rasio pertambahan penduduk tiap
tahun adalah r’ =
0,02141 atau tingkat
pertambahan penduduk Indonesia setiap
tahun = 2,1 %.
Selanjutnya untuk memprediksi jumlah
penduduk pada tahun tertentu, penulis guna-
kan
formula “ Pertambahan penduduk geomtri yaitu : Pn = Po ( 1
+ r’ )n
Pn = Jumlah penduduk tahun ke- n
P0 = Jumlah penduduk awal tahun
r’
= rasio pertambahan penduduk
geomtri setiap tahun = 0,02141
Berdasar data sensus penduduk
Indonesia tahun 1971 yang berjumlah =
119232499 jiwa dan data sensus
penduduk Indonesia tahun 1981 adalah = 147383075 jiwa,
maka jumlah
penduduk tiap tahun antara dua sensus tersebut adalah sebagai berikut :
Jumlah
penduduk Indonesia tahun 1971 = 119232499 sebagai (P0)
Jumlah penduduk
Indonesia tahun 1972 ( P1) = Po
( 1 + r’ )1
P1 = 119.232.499 ( 1 + 0,02141)
P1 = 119.232.499 ( 1,02141)
P1 = 121.784.075
Jadi jumlah penduduk Indonesia tahun
1972 adalah 121.784.075 jiwa.
Jumlah penduduk Indonesia tahun 1973 (P2)
= P0 ( 1 + r’ )2
P2 = P0 ( 1 +
r’ )2
P2= 119.232.499 ( 1 + 0,02141)2
P2=
119.232.499 ( 1,02141)2
P2= 119.232.499 ( 1,043278388)
P2= 119.232.499
( 1,043278388)
P2=
124392689
Jadi jumlah
penduduk Indonesia tahun 1972 adalah 124392689 jiwa.
Jumlah penduduk Indonesia tahun 1974
(P3) = P0 ( 1 + r’
)3
P3 = P0 ( 1 +
r’ )3
P3= 119.232.499 ( 1 + 0,02141)3
P3= 119.232.499 ( 1,02141)3
P3=
119.232.499 (1,065615)
P3= 127.055.939
Jadi Jumlah penduduk Indonesia tahun 1974 (P3) berjumlah 127.055.939
jiwa.
Jumlah penduduk Indonesia tahun 1975
(P4) = P0 ( 1 + r’
)4
P4 = P0 ( 1 +
r’ )4
P4=
119.232.499 ( 1 + 0,02141)4
P4= 119.232.499 ( 1,02141)4
P4= 119.232.499 (1,088429795)
P4= 129776205
Jadi jumlah
penduduk Indonesia tahun 1975 (P4)
adalah 129776205 jiwa.
Dari uraian tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa pertambahan
penduduk Indone-
sia setiap
tahun bertambah 2,1 %. Sehingga
dapat diperkiraan jumlah penduduk Indonesia
pada 10 tahun yang akan datang, atau bahkan
dapat diprediksi jumlah penduduk
Indonesia 20 tahun mendatang. Jika tidak ada upaya mengurangi angka
pertambahan
penduduk Indonesia yang terlalu cepat
maka upaya-upaya pembangunan yang
dilakukan oleh pemerintah akan sia-sia.
V. Penutup
A. Kesimpulan
Ber
dasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Untuk
menghitung pertambahan penduduk yang tepat tiap tahun, biasanya dilakukan de-ngan
sensus penduduk. tiap 10 tahun sekali .
2. Untuk
menghitung dengan sensus setiap tahun , tidak mungkin dilakukan, karena
diperlukan biaya yang cukup besar.
3. Dengan
menggunakan formula fungsi eksponen, didapat Jumlah pertambahan penduduk In-donesia
2,1 %, setaip tahun.
Daftar Pustaka
A.H Polards, 1982. Teknik Demografi. Jakarta : PT. Bina
Aksara.
Budhi Prayitno, 1996. Matematika. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Daldjoeni, 1981. Masalah Penduduk dalam Fakta dan Angka.
Bandung : Penerbit Alumni.
Nathan Keyfitz, 1964. Soal Penduduk dan Pembangunan Indonesia.
Jakarta: PT. Pembangunan.
Pantur Silaban, 1989. Teori Himpunan. Jakarata: Penerbit
Erlangga.
Sartono Wirodikromo, 1994. Matematika. Jakarta: Pemnerbit Erlangga.
Sukirman, 1997. Matematika . Jakarta : Universitas
Terbuka.
Sumadi, 1995. Matematika 2B. Solo: PT Tiga Serangkai.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar