Tinjauan Solusi Persamaan Linear Menggunakan Kongruensi
Saryanto – UPBJJ UT Purwokerto
15 Januari 2018
I. Pendahuluan
Dalam permukaan jam terdapat lambang
bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 12. Jika waktu yang ditunjukkan
pada permukaan jam adalah tepat pukul 05.00 sore , maka pengertian yang sama
dengan pukul tersebut adalah pukul 17.00.
Jika yang ditunjukkan pada permukaan jam adalah tepat pukul 06.00 sore,
07.00 sore, 08.00 sore dan 09.00 sore, maka pengertian yang sama adalah pukul
18.00, 19.00, 20.00, 21.00.
Untuk masing-masing waktu yang
disebutkan di atas, kami kelompokan menjadi elemen-elemen dua himpunan A dan B,
seperti tersebut di bawah ini.
A = { pukul 17.00 WIB, 18.00 WIB,
19.00 WIB, 20.00 WIB, 21.00 WIB}.
B = {pukul 05.00 sore, 06.00 sore, 07.00 sore, 08.00
sore, 09.00 sore }
Antara elemen himpunan A dengan elemen
himpunan B terdapat suatu hubungan atau relasi pengertian yang sama. Pukul
17.00 WIB mempunyai pengertian yang sama dengan pukul 05.00 sore, pukul 18.00
WIB mempunyai pengertian yang sama dengan pukul 06.00 sore, pukul 19.00 WIB mem-punyai
pengertian yang sama dengan pukul 07.00 sore, pukul 20.00 WIB mempunyai
pengertian yang sama dengan pukul 08.00 sore, dan pukul 21.00 WIB, mempunyai
pengertian yang sama de-ngan pukul 09.00 sore.
Selanjutnya pengertian waktu yang
sama antara elemen-elemen himpunan A yang dipasangkan dengan elemen-elemen
himpunan B, dinamakan relasi. Secara
matematika relasi antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan
B, dapat ditunjukkan menggunakan : 1. Gambar diagram panah, 2. Gambar diagram
Cartecius, dan 3. Pasangan berurutan.
Relasi elemen himpunan A yaitu pukul
17.00 WIB dengan elemen himpunan B yaitu pukul 05.00 sore, secara matematika
dapat juga dinotasikan sebagai : “ 17y = 12x + 5”. Kalimat matematika 17y = 12x
+5, dikatakan sebagai : “ Persamaan liear dengan dua variabel x dan y “, dan secara
umum ditulis : “ ax + by + c = o”.
Persamaan linear dua variabel x dan y,
sebagai fokus makalah ini, dengan judul : “
Tinjauan Solusi Persamaan Linear Menggunakan Kongruensi “.
II. Rumusan Masalah
Berdasar pada judul makalah di atas, maka
disusunlah rumusan masalah seperti tersebut di bawah ini.
A. Apa yang dimaksud dengan relasi dua
himpunan?
B. Apakakah kaitan Relasi dengan Kongruensi?
C. Bagaimana Solusi Permaan Linear Menggunakan
Kongruensi ?
III. Pembahasan
A. Pengertian Relasi Dua Himpunan
1. Relasi Menggunakan Gambar Diagram Panah
Suatu relasi dari himpunan A ke
himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari
elemen-elemen himpunan A ke elemen-elemen himpunan B. Jadi Relasi adalah suatu
aturan yang memasangkan elemen himpunan ke himpunan lain.
Untuk lebih memahami pengertian
relasi, perhatikan contoh relasi yang ditunjukan oleh gambar diagram panah
tersebut di bawah ini.
Gb. 1
Pada gambar diagram panah (1) tersebut di atas, bahwa setiap elemen
himpunan A dipasangkan (relasi) tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B, disebut
fungsi atau pemetaan.
Pada gambar panah (2) tersebut di atas, bahwa terdapat relasi setiap elemen
himpunan A dipasangkan dengan lebih dari satu elemen himpunan B. Relasi yang
ditunjukkan pada gambar (2) adalah bukan merupakan fungsi.
Pada gambar diagram panah (3) yang memiliki ciri-ciri setiap elemen
himpunan A dipasangkan dengan elemen himpunan B tepat satu elemen himpunan B. Relasi
pada diagram panah gambar (3 disebut fungsi atau pemetaan.
Pada gambar diagram panah (4) memiliki ciri setiap elemen himpunan A
dipasangkan ( relasi) dengan tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B
disebut fungsi atau pemetaan.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dikatakan
fungsi, dilambangkan dengan :f: A-->B.
Perlu anda ketahui bahwa relasi ( hubungan) atau pemasangan selain dapat
ditunjukkan dengen diagram anak panah, dapat juga ditunjukkan menggunakan
diagram Cartesius.
1. Relasi Menggunakan Gambar Diagram Cartesius
Relasi yang terjadi antara elemen himpunan A = {
Kereta Api, Bus, Sepeda, Kapal, Pesawat } dan B = { Darat, Laut, Udara}. Antara
elemen-elemen himpunan A dan B terdapat relasi “ jenis perhubungan “ Relasi tersebut dapat digambarkan dengan
diagram Cartisius.
Contoh: Dengan Diagram
Cartesius
Gb. 2
Berdasarkan pada diagram Cartesius
diatas, maka terdapat relasi lalu lintas perhubungan seperti tersebut di bawah ini.
Kereta Api R Darat
Bus R Darat
Speda R Darat
Kapal R Laut
Pesawat R Udara
1. Relasi Menggunakan Himpunan Pasangan
Berurutan
Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan.
Misalnya, A = { pukul 17, pukul 18, pukul 19, pukul 20, pukul 21} dan B = {pukul
5 Sore ,pukul 6,pukul sore, pukul 7 sore ,pukul 8 sore, pukul 9 sore}. Antara
anggota himpunan A dan B terdapat relasi “pengertian waktu yang sama”. Relasi
tersebut dapat ditunjukkan dengan gambar diagram panah, seperti tersebut di
bawah ini. λ
A B
|
17 WIB ------------ pukul 5 sore
18 WIB ----------- pukul 6 sore
19 WIB ----------- pukul 7 sore
20 WIB ----------- pukul 8 sore
21 WIB ----------- pukul 9 sore
|
Jika relasi antara elemen-elemen himpunan A dan B tersebut di atas, dinyatakan
sebagai himpunan pasangan berurutan, maka penulisannya adalah seperti tersebut
di bawah ini.
ARB:{(pukul17WIB,pukul 5Sore), (pukul 18WIB,pukul
6sore), (pukul 19WIB,pukul 7Sore), (pukul 20WIB, pukul 8Sore), pukul (21WIB,pukul
9Sore)}
Berdasar pada contoh
penulisan himpunan sebagi pasangan berurutan antara himpunan A dan B di atas,
bahwa relasi : “ pengertian waktu yang sama” pukul 17 WIB adalah pukul 5 sore,
atau dapat dikatakan bahwa pukul 17.00 WIB adalah kongruen dengan pukul 5.00
sore.
A. Kaitan Relasi Dengan Kongruensi
1.
Jenis
Relasi
Relasi antara satu anggota himpunan A yaitu pukul 17.00 WIB dan satu anggota
himpunan B pukul 5.00 sore, secara matematika dapat diniotasikan sebagai : “17y = 12x + 5” . Kalimat matematika : “17y =
12x + 5”, adalah merupakan persamaan linear dua variabel x dan y. Secara umum persamaan
linear dua variabel x dan y dinotasikan dengan simbol : “ ax + by + c = o”
Perlu anda ketahui bahwa kalimat matematika : “17y = 12x + 5” , jika
dinotasikan dalam bentuk kongruensi adalah sebagai : “17 ≡ 5 ( mod 12 )”.
Kongruensi merupakan relasi
Eqivalensi. R adalah suatu relasi eqivalensi, jika dan hanya jika merupakan relasi reflektif, relasi simetrik
dan relasi transitif.
a. Relasi reflektif, jika dan hanya jika aRa untuk setiap a ε A , jika a ≡ a ( mod m)
Contoh: 12 ≡ 12 ( mod 12)
12│ ( 12 – 12 ) . . . . definisi 1
12│0
artinya 0 habis dibagi 12 dan hasil penyelesainya = 0.
b. Relasi Simetrik , jika dan hanya jika untuk
setiap a,b ε A, aRb
membawakan bRa; Untuk setiap (a,b) ε R → ( b,a) ε R.
Contoh : 17 ≡ 5 ( mod 12 ), karena 12 │ ( 17 – 5 ) *). . . . . definisi 1
5 ≡ 17 ( mod 12 ),
karena 12 │ ( 5 – 17 )**) . . .
definisi 1
Jadi 17 ≡ 5 ( mod 12 )*) membawakan 5 ≡ 17 (
mod 12 )**)
c. Relasi transitif, jika dan
hanya jika untuk setiap a,b,c ε A , (a,b) ε R ᴧ (b,c) ε R →
(a,c) ε R
Contoh : 17 ≡ 5 ( mod
12 ) ᴧ 18 ≡ 6 ( mod 12 ) membawakan 12 │( 17 – 5 ) + ( 18 – 6 ) atau
12 │ 35 – 11)
. . . defini 1
Jadi 35 ≡ 11 ( mod 12) atau
11 ≡ 35 ( mod 12).
B. Solusi Persamaan Linear Menggunakan
Kongruensi
Agar dapat mencari
hasil penyelesaian (solusi ) persamaan linear menggunakan model kongruensi
memerlukan aturan-aturan yang digunakannya, yaitu : definisi, sifat –sifat atau
dalil, teorema-teorema antara lain seperti tersebut di bawah ini.
Definisi 1
Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, dan m
suatu bilangan asli, maka a
kongruen b modulo m, dinotasikan sebagai :
a ≡ b ( mod m ) jika dan
hanya jika m │(a
– b ).
Teorema 1
Apabila x0, y0 adalah
penyelesaian dari persamaan ax + by = c , maka x0 + bt dan y0 – at, t bilangan bulat,
adalah juga penyelesaian dari persamaan ax + by = c
Bukti :
Karena x0, y y0 adalah penyelesaian dari persamaan ax + by =
c, maka ax0 + by0 = c
a(x0 + bt) + b( y0
–at)= c
ax0 + abt + by0
–bat = c
ax0 + bat + by0 –bat = c
ax0 + by0 +
bat – bat = c
ax0 + by0
+ 0 = c
Jadi ax0 + by0
= c ( terbukti)
Teorema 2
Apabila (a,b) ł c, maka ax
+ by = c tidak mempunyai penyelesaian , dan apabila (a,b)│c, maka ax + by = c mempunyai
penyelesaian.
Bukti :
Misal terdapat bilangan bulat x0,
dan y0 sedemikian
sehingga ax0 + by0 = c. Karena (a,b)│ax0
dan (a,b)│by0, maka (a,b)│c. Sebaliknya (a,b)│c maka terdapat
bilangan bulat m sehingga c = m(a,b). Dengan demikian pula untuk bilangan bulat
m, maka terdapat bilangan bulat r dan s , sedemikian sehingga ar + bs = (a,b)
Maka a(rm) + b(sm) = m(a,b)= c dan x =
rm dan y = sm adalah penyelesaian persamaan ax + by = c.
Definisi 2
Himpunan bilangan-bilangan bulat r1,
r2, . . . . . , rn , sedemikian sehingga setiap
bilangan bulat nm kongruen dengan satu dan hanya satu r1, r2, .
. . . . , rn,, dinamakan sistem residu lengkap modulo n.
Contoh 1. Himpunan A= { 0, 1, 3, 4 }
25 ≡ 0 ( mod 5) ;
26 ≡ 1 ( mod 5) ;
27 ≡ 2 ( mod 5 ) ;
28 ≡ 3 ( mod 5 ) ;
29 ≡ 4 ( mod 5)
Contoh 2. Himpunan B = { -2,
-1, 0, 1, 2 }
3 ≡ - 2 ( mod 5) ;
4 ≡ - 1 ( mod 5) ;
0 ≡ 0 ( mod 5 ) ;
1 ≡ 1 ( mod 5 ) ;
2 ≡ 2 ( mod 5 )
Contoh 3. Himpunan C = { -30, - 29, -28, - 27 , - 26 }
5 ≡ -30 ( mod 5) ;
6 ≡ -29 ( mod
5) ;
7 ≡ - 28 ( mod 5 ) ;
8 ≡ - 27 ( mod 5 ) ;
9 ≡ - 26 ( mode 5 )
Untuk mencari hasil penyelesaian (solusi)
persamaan linear dua variabel x dan y menggunakan model konggruiensi,
perhatikan contoh tersebut di bawah ini.
Contoh 1. Carilah solusi dari 5x + 6y = 17 *)
Jawab : 6y ≡ 17 (mod
5 )
5 = 5.1 dan 6 = 6.1, Jadi FPB bilangan 6 dan 5
adalah 1 dan dinotasika (5,6) = 1
(5,6) =1 ( FPB 5 dan 6 adalah satu), dan
1│ 17 ( satu pembagi tujuh belas), maka
persamaan linear : 5x + 6y = 17 mempunyai satu dan hanya satu
penyelesaian . . . . . ( teorema 2)
6y ≡ 17 (mod 5 )
6y ≡ 12 (mod 5 )
y ≡ 2 (mod 5 )
y =( 2 – 5t ). . . . ( teorema 1)
Substitusika ke persamaan *)
5x + 6y = 17
5x + 6 ( 2 – 5t) = 17 5x + 12 – 10t = 17
5x – 10t = 5
5x = 5 + 10t
5x = 5( 1 + 2t )
X = ( 1 + 2t) . . . . .
( teorema 1).
Untuk t = 0 maka x = 1 dan y = 2
Contoh 2. Cari solusi dari persamaan linear : 3x + 6y = 15 *)
Jawab : 6y ≡ 15 (mod 3)
3 = 3.1
6 = 3.2
Jadi FPB bilangan 3 dan 6
adalah 3 atau ( 3,6 ) = 3
3 │ 15 ( di baca 3 pembagi 15 ) maka persamaan 3x
+ 6y = 15 mempunyai tiga
penyelesaian ....
(teorema 2)
6y ≡ 15 (mod 3)
2y ≡ 5 (mod 3)
2y≡ 8 ( mod 3)
y ≡ 4 ( mod 3)
y = 4 - 3t . . . . . ( teorema 1)
Substitusikan y = ( 4 - 3t ) ke persamaan 3x + 6y = 15*)
3x + 6(4 - 3t) = 15
3x + 24 - 18t = 15
3x + 9 - 18t = 0
3x - 9 ( 1 + 2t ) = 0
3x
= 9( 1 + 2t )
x = 3(
1 +2 t ) . . . . ( teorema 1)
Untuk t = 0 :
maka x = 3 dan y = -4
Contoh 3. Cari solusi dari
persamaan linear : 6x + 33 y = 15
Jawab :
( 6,33) = 3 ( FPB bilangan 6 dan 33 adalah 3)
3
│ 15 ( 3 pembagi 15) maka persamaan 6x
+ 33 y = 15 mempunyai tiga penyelesaian.
6x ≡ 15 (mod 33)
2x ≡ 5 (mod 11)
2x ≡ 16 (mod 11)
x ≡ 8 (mod 11)
Jadi x = (8 + 11 t)
Substitusikan x = (8 + 11 t) ke
persamaan 6x + 33 y = 15
6(8 + 11 t) + 33 y = 15
48 + 66t + 33y = 15
33y = 15 – 48 – 66t
33y = - 33 – 66t
33y = - 33( 1 + 2 t )
Y = - 33( 1 + 2 t ) / 33
Y = - 1( 1+ 2t)
Jadi solusi dari 6x + 33 y = 15
adalah x = (8 + 11 t) dan y = - 1(
1+ 2t)
Untuk t = 0 maka x = 8 dan y = - 1
Untuk t = 1 maka x = 19 dan y = - 3
C.
Kesimpulan
Dari pembahasan
konggruensi di atas maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Relasi
( hubungan) elemen-elemen dua himpunan dapat ditunjukkan melalui tiga cara
yaitu gambar diagram panah, gambar Diagram Cartesius, dan himpunan pasangan terurut.
2. Relasi
yang bersifat reflektif, transitif, dan simetrik disebut kongruensi
3. Konggruensi
dapat digunakan untuk solusi persamaan linear ax + by +c =0.
D.
Daftar
Pustaka
Bachtiar Sjarif, 1990. Pengantar
Dasar Matematika ( Himpunan dan Logika ). Bandung ;
Badan Penerbit FMIPA ITB.
Gatot Muhsetyo , 2003. Dasar Dasar Teori
Bilangan. Malang: Badan Penerbit FP MIPA
Universitas Negeri Malang
Muchtar G, 1992. Pengantar Teori Bilangan. Padang :
Badan Penerbit FP MIPA IKIP
Negeri Padang.
Muchtar G, 1988. Ilmu Bilangan. Padang : Badan
Penerbit FP MIPA IKIP Negeri Padang.
Pantur Silaban, 1992. Teori Himpunan. Jakarta: Penerbit
Erlangga
.
Sartono Wirodikomo, 1995. Matematika. Jakarta: Penerbit Erlangga..
.
