Kamis, 13 September 2018

Suatu Tinjauan Geometri Dari Sudut Pandang Ilmu Deduktif


Suatu Tinjauan Geometri Dari Sudut Pandang  Ilmu Deduktif
Oleh : Saryanto,
UPBJJ-UT Purwokerto
12 September 2018.
I.     Pendahuluan
          Pada umumnya peradaban kuno berpusat di sekitar lembah sungai yang subur, sebagai contoh : “ Peradanban Babilonia ( Irak Kuno) berpusat di lembah sungai Euphrat dan Tigris dan peradaban     Mesir kuno berpusat di lembah sungai Nill.
          Berbeda dengan peradaban Yunani kuno, adalah berpusat di daerah perbukitan kapur yang terjal dan tandus serta dikelingi oleh pantai-pantai curam. Faktor penyebab Yunani menjadi pusat peradaban kuno, antara lain:
1.    Bangsa Yunani  adalah bangsa yang suka / gemar belajar
2.    Bangsa Yunani adalah bangsa yang suka / gemar merantau dan berdagang.
          Banyak ilmuwan bangsa Yunani kuno yang belajar ke Mesir dan Babilonia, dan hasil pengalaman belajar mereka dipergunakan untuk memajukan negeri Yunani.
          Sekitar abad 9-6 SM, banyak polis yang muncul di Yunani, tetapi hanya dua yang  berkembang menjadi polis yang kuat, yaitu polis Sparta berpusat di kota Attica dan polis Athena berpusat di kota Athena. Untuk menambah wawasan anda wilayah Yunani, dibawah ini ditunjukkan peta lokasi wilayah Yunani Kuno.


       Gambar : Peta Wilayah Yunani        


         Perhatikan  peta lokasi Wilayah Yunani tersebut di atas, bahwa wilayah Yunani merupakan wilayah daratan dan wilayah kepulauan. Perlu anda ketahui bahwa secara Geografis wilayah Yunani kuno,  dikelilingi oleh :
1.    Sebelah Barat     : Laut Adriatic dan Laut Tengah
2.    Sebelah Timur    : Laut Aegean
3.    Sebelah Utara     : Illrya, Macedonia, Imperium / Kekuasaan Persia
          Berdasar pada letak geografis di atas, maka wilayah Yunani merupakan wilayah  strategis karena letaknya di jalur perdagangan laut yang menghubungkan Eropa Barat dengan Mesir ( Benua Afrika Utara  )dan Babilonia di Asia Barat.
          Kota Attica di Yunani berkembang menjadi pusat perdagangan dan merupakan pusat polis Sparta. Bentuk negara polis Sparta adalah kekaisaran dengan kepala negara dipegang oleh dua orang raja, sedangkan kepala pemerintahannya dipegang oleh Ephor ( dewan para tetua). Sistem Pemerintahan Sparta adalah adalah sistem pemerintahan militeristik.
         Kota Athena berkembang menjadi pusat kekaisaran, dengan kepala negara dipegang oleh seorang raja. Kepala pemerintahannya dipegang oleh Strategos, yaitu suatu dewan yang terdiri dari sepuluh hakim atau jenderal. Pada saat raja Kleisthenines menjadi kepala negara, sistem pemerintahannya adalah sistem demokrasi, yaitu : “Setiap orang (kecuali wanita, non-warga negara, dan budak), berhak memilih Strategos, yaitu terdiri dari sepuluh hakim atau jenderal.           
          Dalam bidang ilmu pengetahuan, orang Yunani yang menjadikan konsep alam dan hidup keseharian manusia ke dalam bentuk filsafat.         
Tokoh-tokoh filsuf (ahli filsafat) asal Yunani yang dikenal hingga sekarang di antaranya:
Thales, adalah Bapak Pengetahuan Yunani yang mengambil pelajaran astronomi dari Mesir dan Persia. Thales juga seorang matematikawan. Sebagai seorang Matematikawan Yunani kuno, Thales adalah orang Yunani yang pertama kali mengemukakan teorema Geometri, yaitu :
1. Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameter nya .
2. Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama besar
3. Pasangan sudut yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus adalah  
    sama besar.
4. Dua buah segitiga adalah ≡ apabila dua sudut dan satu sisnya sama

5. Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku
          Berdasar pada penjelasan di atas, maka disimpulkan bahwa geometri adalah suatu ilmu deduktif yaitu setiap penyelesaian masalah geometri berdasar pada suatu hukum yang bersifat umum, misal sebagai contoh yaitu berdasar pada aksioma atau teorema. 
          Dalam penyusunan makalah ini difokuskan pada geometri, sehingga makalah ini diberi judul : “ Suatu Tinjauan Geometri Dari Sudut Pandang  Ilmu Deduktif                    
II.     Rumusan Masalah   
          Berdasar pada judul makalah diaatas, dapat  disusun rumusan masalah sebagai berikut.
A.  Bilamana Sejarah Kelahiran Geometri sebagai Ilmu Deduktif di Yunani?
B.   Bagaimana Aplikasi Geometri! Sebagai Ilmu Deduktif?
III. Pembahasan Masalah
 Sejarah Kelahiran Geometri sebagai Ilmu Deduktif  
          Banyak penduduk Yunani yang belajar matematika dan Sains ke Mesir dan Babilonia, sehingga kegiatan intelektual bangsa Yunani mengalami kemajuan. Ke-giatan intelektual di Yunani muncul kira-kira tahun 800 SM, menggantikan wilayah Babilonia dan Mesir. Perpindahan kegiatan intelektual dari wilayah Babilonia dan Mesir ke wilayah Yunani berjalan mulus,.karena perkembangan kekaisaran Sparta dan Athena di Yunani.                                                                                
          Pada sekitar abad ke-6 SM, bangsa Yunani mulai memperlihatkan perkembangan dalam bidang matematika. Tokoh intelektual Matematika dan Sains bangsa Yunani antara lain : 1) Thales, 2) Pythagoras, dan 3) Euclid.  
       Dibawah ini akan dijelaskan sejarah kelahiran ketiga tokoh ilmuwan tersebut di atas yaitu :
1). Thales ( 624-548 SM), lahir di kota Militus, Yunani. Beliau pernah belajar matematika ke Mesir dan Babilonia. Sebagai seorang Matematikawan, beliau mengemukakan teorema Geometri sebagai berikut.
a. Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameter nya .
b. Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama besar
c. Pasangan sudut yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus adalah 

sama besar.
d. Dua buah segitiga adalah ≡ apabila dua sudut dan satu sisnya sama
e. Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku
          Ketika Thales belajar di Mesir, beilau sempat membuat kejutan mengukur tinggi Pyramida dengan cara mengukur bayang-bayang dari pyramida tersebut. Thales mengukur tinggi pyramida dengan cara memancangkan sebuah tongkat di tanah dan mengukur tinggi pyramida ketika bayang-bayang tongkat itu sama dengan panjang tongkat itu sendiri, dan memperlihatkan bahwa tinggi pyramida itu sama dengan panjang bayang-bayangnya. Penemuan Thales tentang Pengukuran tinggi pyramida dengan cara tersebut, sempat dikagumi oleh raja Mesir ( Amasis) waktu itu.
2). Pythagoras ( 572-490 SM), adalah seorang Matematikawan yang lahir di kota      
 Samos tidak jauh dari kota Militus, Yunani. Kemungkinan Pythagoras adalah murid Thales, karena usianya hanya berbeda 50 tahun. Pythagoras pernah belajar di Mesir dan menetap beberapa tahun disana. Kemudian beliau belajar Matematika ke Babilonia dan India. Sekembalinya belajar dari Babilonia dan India, beliau menetap di Crotona (Yunani), karena kota tempat kelahirannya yaitu Samos dikuasai oleh tyrani Polycrates dan Ionia dikuasai oleh bangsa Persia. Di Crotona beliau membuka suatu akademi yang mengajarkan filsafat, matematika dan Sains.Hasil karya sekolah Pythagoras adalah menentukan bilangan triple Pythagoras mengunakan rumus.
          Bagaimana menentukan bilangan bulat tripel Pythagoras, dimana a, b adalah bilangan bulat, sebagai sisi-sisi suatu suatu segitiga siku-siku” dan c adalah bilangan bulat sebagai sisi miring segitiga siku-siku tersebut. Adapun untuk menentukan bilangan Triple Pythagoras adalah dengan Rumus :  c2 = a2  + b2 .
          Rumus lain untuk menentukan bilangan triple Pythagoras adalah :  
 ( 2m )2  + (m2 – 1 )2 = ( m2 + 1 )2 ,  dimana m bilangan bulat sebarang .  
Di bawah ini ditunjukkan cara mencari kelompok bilangan triple Pythagoras, dengan menggunakan rumus :  ( 2m )2  + (m2 – 1 )2 = ( m2 + 1 )2 .

  Gambar 1.


                   Tabel .  Kelompok Bilangan Triple Pythagoras                                                                                                       
No.
m
(2m)2
( m2 – 1)2
(m2 + 1 )2
1
 2
   16
        9
        25
2
 3
   36
      64
      100
3
 4
   64
     225
      289
4
 5
  100
     576
      676
5
 6
  144
   1225
    1369
                
            Berdasar tabel di atas, maka diperoleh kelompok-kelompok bilangan, antara lain :
a.    ( 9, 16 dan 25 )
b.    ( 36, 64, dan 100 )
c.    ( 64, 225, dan 289 )
d.    ( 100, 576, dan 676 )
e.    ( 144, 1225, dan 1369 )
           Kelompok-kelompok bilangan tersebut di atas, merupakan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku yang diselesaikan menggunakan rumus triple Pythagoras  
1.    Euclid ( 300 SM )
          Euclid hidup kira-kira pada saat Yunani masuk sebagai bagian wilayah kerajaan Macedonia. Raja-raja Macedonia yang berkuasa di Macedonia antara lain : 
a. Philip 338 SM,
b. Iskandar Agung 340 SM.
          Setelah Iskandar Agung meninggal, kekuasaan wilayah Macedonia dibagi menjadi tiga wilayah kekuasaan, yaitu :
a. Jenderal Ptolemy menguasai wilayah Mesir,
b. Jenderal Seleusus menguasai wilayah Syria dan
c. Jenderal Antigonus dan Cassandar mengusai wilayah Macedonia.
         Setelah Jenderal Ptolemy berkuasa di Mesir,kemudian mengangkat dirinya sebagai raja Mesir dengan gelar Ptolemy 1. Kota Alexandria oleh raja Ptolemy 1 dijadikan sebagai pusat pemerintahan kerajaan Mesir. Kota Alexandria oleh raja Ptolemy 1, dikembangkan sebagai pusat ilmu Pengetahuan dan Kebudayaan.
          Di kota Alexandria oleh raja Ptolemy 1, didirikan Universitas dengan sarana dan prasarana yang serba lengkap. Sarana dan prasarana tersebut antara lain berupa :  Ruang kuliah yang cukup, laboratorium, perpustakaan, perumahan dosen dan asrama mahasiswa. Tenaga dosen Universitas didatangkan dari luar Alexandria, terutama di datangkan dari Yunani. Perpustakaan Universitasnya merupakan perpustakaan terbesar di dunia saat itu.
          Ptolemy 1 memilih ilmuwan diangkat sebagai Ketua Departemen Matematika di Alexandria yaitu Euclid. Euclid menulis dua belas buku, yang terdiri dari bermacam-macam cabang ilmu pengetahuan, seperti matematika, Fisika, Astronomi dan Musik. Dari seluruh karyanya itu yang paling terkenal adalah yang berjudul : “ The Elements”. Buku The Elements adalah karya besar matematika yang sangat populer dan tidak ada tandingannya. Buku ini diterbitkan pertama kali tahun 300 SM. Sampai sekarang buku The Elements masih dijadikan orang sebagai dasar dalam pelajaran Geometri Deduktif.          
          Buku The Elements terdiri dari 13 jilid, pada jilid 1 s/d 6, Euclid memberikan lima dalil ( postulat) yaitu :
1.    Melalui dua titik dapat dibuat suatu garis.
2.    Dalam suatu garis lurus dapat dibuat tak terhingga banyaknya garis-garis lurus secara kontinyu.
3.    Suatu lingkaran dapat dilukis dengan sembarang titik pusat dan jari-jari tertentu.
4.    Semua sudut siku-siku adalah sama.
Apabila suatu garis memotong dua garis lainnya dan sudut dalam yang terjadi jumlahnya lebih kecil dari dua sudut siku-siku, maka apabila kedua garis tersebut diperpanjang aka

1.    bertemu pada suatu titiik, yaitu pada bagian ( arah ) dimana jumlah kedua susdut dalamnya lebih kecil dari dua sudut siku-siku.
          Dalam buku The Elements, Euclid juga memberikan lima Aksioma yaitu :
1.    Suatu yang sama dengan yang lainnya adalah sama satu sama lainnya.
2.    Apabila yang sama ditambahkan dengan yang sama, maka keseluruhannya adalah sama.
3.    Apabila suatu yang sama dikurangi dengan yang sama, maka sisanya adalah sama.
4.    Sesuatu yang serupa ( coinside) dengan yang lainnya adalah sama satu sama lainnya.
5.    Keseluruhan adalah lebih besar dari sebagian.
          Berdasar pada penjelasan di atas, bahwa “ Geometri Deduktif “, adalah setiap kasus geometri penyelesaiannya menggunakan suatu hukum yang bersifat umum, misal sebagai contoh menggunakan :
a. Aksioma (comon nation )  
b. Teorema.
c. Postulat ( dalil ),

A.   Aplikasi Ilmu Deduktif Pada Geometri
          Perlu anda ketahui bahwa penyelesaiannya kasus geometri menggunakan suatu hukum yang bersifat umum, misal sebagai contoh menggunakan : 
Sistem Aksiomatik ( comon nation ) “. 
          Sistem aksiomatik adalah sustu prosedur bahwa suatu hasil pembuktian diakui valid ( benar), jika didapat melaui suatu percobaan, observasi, dan pengamatan intuitif. Adapun pembuktian kebenaran, dapat digambarkan melalui rangkaian pernyataan sebagai berikut.
                                            

Perlu anda ketahui bahwa istilah atau unsur pembuktian suatu kebenaran kasus geometri yang mengunakan sistem aksiomatik antara lain berdasar pada :
1.    Undefined Term ( unsur atau istilah tidak dapat didefinisikan )
2.    Defined Term ( Unsur atau istilah yang didefinisikan).
3.    Aksioma ( unsur atau istilah yang diakui kebenarannya tanpa pembuktian )
4.    Teorema ( unsur atau istilah yang diakui kebenarannya, melalui suatu pembuktian kebenaran )
5.    Postulat atau dalil (unsur atau istilah yang diakui kebenarannya melalui suatu pembuktian ).         
          Terdapat tiga jenis Geometri yang pembuktian kasus kebenarannya  berdasar pada sistem aksiomatik, yaitu :  
1.    Geometri Euclides,
2.    Geometri Non Euclides,
3.    Geometri Proyektif.
          Selanjutnya di bawah ini akan ditunjukkan contoh-contoh  penyelesaian kasus goemteri Euclid mengunakan sistem Aksiomatik.
Contoh 1 :  Sistem Aksiomatik dengan Undefined Term /  unsur atau istilah tidak didefinisikan
Titik dan garis dan relasi “ pada”, ditetapka sebagai berikut :
Aksioma 1 : Terdapat tepat 3 titik yang berbeda
Aksioma 2 : Dua titik tepat pada satu garis
Aksioma 3 : Tidak semua titik pada garis yang sama
Aksioma 4 : Sebarang dua garis berbeda pada paling sedikit satu titik yang memuat keduanya.
          Dari aksioma tersebut di atas dapat diturunkan beberapa Teorema, yaitu :
Teorema 1 ; Dua garis berbeda pada tepat satu titik
Teorema 2 : Terdapat tepat tiga garis
Teorema 3 : Setiap garis mempunyai dua titik padanya.
Contoh : 1
Buktikan : Suatu garis tidak memuat tiga titik berbeda.
Bukti :  Andaikan satu garis memuat tiga titk berbeda. 
 

            Sehingga pengandaian satu garis m memuat tiga titik berbeda yaitu titik P, Q dan R adalah 
            kontradiksi denganaksioma 2. Atau pengandaian satu garis melalui tiga titik adalah salah.
            Yang benar adalah : " Dua titik tepat pada satu garis" atau : " Suatu garis tidak memuat tiga  
             titik berbeda adalah benar. Jadi satu garis tidak memuat tiga titik titik berbeda terbukti benar.
            Contoh 2 :  Buktikan setiap garis pada tepat dua titik  ( Bukti langsung )
  Bukti :  Perhatikan Teorema 2 : Terdapat tepat tiga garis; Misal garis itu adalah  : Misal 3  garis itu                   adalah : m, n, dan l .
              Perhatikan Teorema 1 ; Dua garis berbeda pada tepat satu titik ;  
              Sehingga  garis m  memuat dua titik yaitu : titik R dan titik P dan  garis n  memuat dua titk  
              yaitu :  titik P dan titik  Q ) serta garis  l memuat dua titik yaitu :  titk R, dan titik Q . Jadi 
              setiap garis memuat dua titik. Terbukti  setiap garis pada tepat dua titik

           Berdasar penjelasan contoh 1, dan contoh 2, tersebut di atas maka disimpulkan bahwa  penyelesaian kasus geometri menggunakan suatu hukum yang bersifat umum ( misal : Aksioma, Teorema ) atau penyelesaian kasus geometri dilskukukan secara deduktif. Jadi Geometri merupakan ilmu deduktif.                  

IV.    Kesimpulan
1.    Geometri khususnya dan Matematika pada umumnya merupakan ilmu yang sangat tua usianya, tetapi masih nampak cantik dan menarik untuk dipelajari.
2.    The Elements, adalah buku karya Euclid diterbitkan pertama kali tahun 300 SM, masih dijadikan sebagai dasar dalam pelajaran Geometri Deduktif sampai saat ini.         
3.    Penyelesaian kasus Geometri Euclid berdasar pada Sistem aksiomatik, yaitu cara pembuktian suatu kebenaran kasus geometri berdasarkan pada aksioma dan teorema.

V.      Sumber Pustaka

Herman Hudojo, 1988. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Dirjen Dikti PPLPTK Depdikbud.

Internet ,  Pukul  12. 15 WIB  10/08/2018. Peta Lokasi Wilayah Yunani . Sumber Bacaan : Geogle
                           Chrom.
Internet ,  Pukul 12.45 WIB Tgl. 10/09/2018. Sejarah Kerajaan Yunani Kuno. Sumber Bacaan: Geogle
                            Chrom.
Muctar G, 1988. Sejarah Matematika. Padang: Badan Penerbit FPMIPA IKIP Negeri Padang.
Sri Mulyani, 1999. Geomtri Aksiomatik. Malang : Penerbit FMIPA Universitas Negeri Malang.
Sutawidjaya Akbar, 2001. Matakuliah Geometri. Malang :  PSSJ Pendidikan Matematika Universitas
                             Negeri Malang.      

















                              
                           












































Minggu, 04 Maret 2018

Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat Melalui Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik



Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melalui  Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik
Saryanto – UPBJJ UT Purwokerto
                                                                  05 Maret  2018

A.  Pendahuluan
          Sesuatu yang perlu dipertimbangkan ketika seorang guru akan mengajarkan konsep tertentu kepada siswa di ruang kelas, misal mengajarkan tentang konsep : “ Fungsi Kuadrat”, maka guru harus mampu memilih metode mengajar dan menerapkan strategi / pendekatan  mengajar yang tepat, sesuai  dengan tingkat kemampuan berpikir siswa.
          Thomas L Schroeder dan Frank Lester. Jr ( 1994: hal 138), mengatakan bahwa mengajar dengan metode pemecahan masalah / Problem solving, dibedakan atas tiga macam strategi / pendekatan, yaitu :
1. Pendekatan mengajar tentang pemecahan masalah
2. Pendekatan mengajar untuk Pemecahan Masalah
3. Pendekatan mengajar melalui Pemecahan masalah
          Dari penjelasan bahwa metode mengajar pemecahan masalah di atas, bahwa terdapat tiga macam strategi pemecahan masalah, maka fokus pembahasan pada makalah ini adalah butir ke-3, yaitu : “ Strategi / pendekatan mengajar melalui pemecahan masalah”.
          Selanjutnya Thomas L Schroeder dan Frank Lester. Jr, mengatakan bahwa untuk mambantu siswa mempelajari konsep-konsep matematika dengan strategi / pendekatan pemecahan masalah, maka guru menggunakan model pembelajaran, yaitu:
 1. Mencari Pola-pola
 2. Menggunakan sebuah model
 3. Menggunakan sebuah gambar atau diagram
 4. Memerankan
 5. Membuat sebuah tabel/ grafik
 6. Menduga dan mengujinya
 7. Menginventarisasi semua kemungkinan yang ada
 8. Memisahkan menjadi bagian-bagian/ menyederhanakan
 9. Menghitung mundur/ memeriksa kembali
 10. Mengubah cara pandang
          Dari sepuluh macam strategi / pendekatan pemecahan masalah tersebut di atas, maka makalah ini dibatasi pada strategi / pendekatan pemecahan masalah butir lima yaitu strategi / pendekatan mengajar pemecahan masalah membuat tabel atau grafik. Seheingga makalah ini diberi judul : “ Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melalui  Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik”  
B.  Rumusan Masalah
          Berdasar pada judul makalah tersebut di atas, maka rumusan masalah adalah sebagai berikut.
1.   Apakah Hakekat Kegiatan Belajar Mengajar ( KBM)?
2.   Apa yang dimaksud Fungsi Kuadrat?       
3.   Bagaimana langkah-langkah Mengajarkan Konsep Fungsi Kuadrat Menggunakan Model Membuat Grafik?
C.  Pembahasan Masalah
I.    Hakekat Kegiatan Belajar Mengajar ( KBM)
              Jika kita perhatikan kegiatan belajar mengajar ( KBM) matematika yang dilaksanakan di ruang kelas, pada hakekatnya terdiri dari dua kegiatan, yaitu :
1.   Kegiatan mengajar ( berpusat pada guru)
2.   Kegiatan pembelajaran ( berpusat pada siswa)
1.   Kegiatan Mengajar
           Sebelum guru tampil di ruang kelas untuk mengajarkan pokok bahasan tertentu yang akan disampaikan pada siswa, maka guru diwajibkan menyusun rencana pengajaran yang akan dipakai sebagai pedoman guru dalam mengajar. Terdapat beberapa model rencana pengajaran yang dapat digunakan guru sebagai acuan mengajar, satu diantaranya adalah rencana pengajaran model PPSI ( Progam Pengajaran Sistem Instruksional). Adapun kerangka dari model PPSI adalah : 1.Tujuan,  2. Materi/ Isi bahan pelajaran, 3.Metode, 4.  Alokasi Waktu, dan  5. Eva-luasi. 
a.Tujuan
          Mengajar  adalah kegiatan guru yang berorientasi pada tujuan, terarah pada tujuan, dan bertujuan  untuk mencapai  hasil belajar. Mengajar berorientasi pada tujuan dalam arti bahwa  dalam rangka guru melakukan kegiatan belajar mengajar , maka guru berpedoman pada tujuan instruksional umum ( TIU) yang telah ditentukan oleh Garis-garis Besar  Pro-gram Pengajaran ( GBPP) dalam melaksanakan kegiatan belajar mengajar. Terarah pada tujuan , dalam arti bahwa akan terjadi perubahan perilaku pada siswa melalui kegiatan belajar mengajar tersebut. Sedangkan mengajar untuk  mencapai hasil  belajar (siswa memiliki kompetensi )  akan tercapai melalui kegiatan belajar mengajar.
          Dengan demikian, ketika guru akan mengajar, maka guru tersebut menetapkan sasaran yang hendak dicapai ( TIU= Tujuan Instruksional Umum) dan (TIK= Tujuan Instruksional Khusus). Untuk mencapai tepat sasaran, guru merencanakan atau merumuskan tujuan instruksional ( TIU) yang diharapkan tercapai ( TIK) melalui kegiatan belajar mengajar, sehingga hasil belajar yang dikuasai siswa optimal.
b. Materi/ Isi bahan pelajaran
          Setelah guru menetapkan tujuan instruksional, maka langkah selanjutnya guru memilih materi / isi bahan pelajaran (misal : “Mengambar grafik fungsi kuadrat”), yang akan diajarkan pada siswa. Hasil belajar  yang diperoleh siswa merupakan  materi pelajaran yang yang diajarkan oleh guru sesuai dengan rumusan tujauan instruksional yang telah dibuat. 
c.Metode Mengajar
          Setelah guru menentukan tujuan instruksioal dan memilih materi pelajaran  yang akan diberikan kepada siswa, maka guru perlu menentukan metode mengajar yang tepat, sehingga hasil belajar siswa sesuai dengan tujuan  instrusional dan materi yang diajarkan. 
d. Alokasi Waktu
          Setelah guru merumuskan tujuan instruksional, menyiapkan materi pelajaran den memilih metode mengajar yang akan digunakan, maka langkah berikutnya adalah guru merinci  alokasi waktu  yang diperlukan untuk melaksanakan kegiatan belajar mengajar. Berapa menit  waktu yang  diperlukan oleh guru untuk melaksanakan kegiatan belajar mengajar  (kegiatan awal / apersepsi, kegiatan inti, dan kegiatan akhir/ evaluasi) .  
e. Evaluasi.
          Tujuan instruksional khusus, materi  pelajaran dan evaluasi merupakan tritunggal  dalam kegiatan belajar mengajar.  Dalam arti bahwa evaluasi merupakan alat ukur keberhasilan siswa dalam menguasai materi pelajaran sesuai dengan tujuan instruksional  yang dirumuskan oleh guru pada rencana pengajaran.
2. Kegiatan Pembelajaran
          Guru merupakan fasilitator dalam pembelajaran matematika di ruang kelas. Setiap materi atau konsep tertentu yang dipelajari siswa di ruang kelas, akan direspon siswa melalui panca indra. Perlu anda ketahui bahwa panca indera terdiri dari lima macam yaitu :
a. Indera penglihatan ( mata), terlihat indah, terlihat bersih, dll
b. Indera pendengaran ( telinga ) : terdengar suara merdu, terdengar suara blero, dll
c. Indera peraba (kulit) : diraba  halus, kasar, licin dll.
d. Indera Pembau (hidung), bau harum, bau pesing, bau amis, bau penguk dll
e. Indera Perasa (idah), rasa manis, rasa pahit, rasa gurih dll.
          Informasi atau data tentang konsep tertentu yang diterima panca indera, selanjutnya panca indera mentransver konsep tersebut ke otak. Setiap konsep yang masuk ke otak akan diproses secara asimilasi, jika informasi yang masuk sesuai dengan data yang telah tersimpan di otak. Di dalam otak konsep yang sudah diproses secara asimilasi selanjutnya disimpan oleh jaringan informasi dalam otak yang disebut Schemata. Jika ternyata data yang masuk ke otak merupakan data baru, maka akan diproses oleh otak sesara akomodasi. Konsep yang telah diproses sacara akomodasi, selanjutnya akan disimpan oleh jaringan informasi (Schemata) melalui inovasi ( pembaharuan ) schemata.
          Pembelajaran adalah perubahan perilaku seseorang sebagai akibat pengalaman atau informasi baru yang disimpan pada schemata. Potensi (kemampuan) seseorang tergantung seberapa banyak informasi atau data yang tersimpan pada schemata. .Potensi kemampuan seseorang menerima informasi baru berbeda antara seseorang dengan orang / siswa lainnya.
          Sebagai ilustrasi tentang perbedaan potensi kemampuan seseorang menerima informasi baru, kita ambil sebagai contoh adalah membandingkan potensi kemampuan manusia dengan potensi kemampuan kuda dalam hal kecepatan lari.. Manusia tidak mungkin dapat mengalahkan kecepatan lari terhadap kuda, karena unsur fisik kuda berbeda dengan unsur fisik manusia.           
           Bloom mengatakan bahwa unsur-unsur psikhis manusia terdiri dari :
(1). Unsur Cognitif ( berpikir) ,  (2). Unsur Afektif ( sikap) , dan (3). Unsur psikhomotor ( keterampilan)
          Dengan berbekal pada satu dari tiga unsur psikhis manusia yaitu unsur cognitif ( berfikir ), manusia  dapat memanfaatkan kuda sebagai alat (menunggang) kuda, sehingga dengan menunggang kuda manusia dapat lari secepat kuda.     
          Berdasar pada pemnjelasan potensi kemampuan manusia, maka proses pembelajaran akan berlangsung efektif, jika guru dapat menggali potensi kemampuan siswa. Pemanfaatkatan potensi kemampuan siswa dalam pembelajaran, ini berarti pembelajaran pemecahan masalah dengan strategi cara belajar siswa aktiv ( CBSA). Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melalui  Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik”, juga merupakan pembelajaran strategi CBSA tinggi.    
          Berdasar pada pembahasan kegatan pembelajan di atas, maka di bawah ini akan dikupas dengan urutan seperti tersebut di bawah ini, yaitu :

1.   Pengertian Fungsi Kuadrat         

      
          
  Gb.1
Pada gambar diagram panah (1) tersebut di atas, bahwa menunjukkan bahwa setiap elemen himpunan A dipasangkan (relasi) tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B, maka pemasangan elemen himpunan A dengan elemen himpunan B tersebut dinamakan fungsi atau pemetaan...
          Pada gambar panah (2) tersebut di atas, bahwa terdapat relasi setiap elemen himpunan A dipasangkan dengan lebih dari satu elemen himpunan B. Relasi yang ditunjukkan pada gambar (2) adalah bukan merupakan fungsi.
          Pada gambar diagram panah (3) yang memiliki ciri-ciri setiap elemen himpunan A dipasangkan dengan elemen himpunan B tepat satu elemen himpunan B. Relasi pada diagram panah gambar (3 disebut fungsi atau pemetaan.
          Pada gambar diagram panah (4) memiliki ciri setiap elemen himpunan A dipasangkan ( relasi) dengan tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B disebut fungsi atau pemetaan.
          Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan dikatakan fungsi, dilambangkan dengan :f: A-->B.
          Perlu anda ketahui bahwa relasi ( hubungan) atau pemasangan selain dapat ditunjukkan dengen diagram anak panah, dapat juga ditunjukkan menggunakan diagram Cartesius..
          Sebuah fungsi  f  yang dinyatakan dengan rumus :f(x) = ax2  +  bx + c  dengan a, b, c bilangan real R dan a ≠ 0 dinamakan sebagai fungsi kuadrat. Aturan fungsi kuadrat ini jika dinyatakan dalam bentuk lain adalah sebagai berikut:
f(x) = ax2  +  bx + c 
f(x) = a ( x2  +  b/a.x ) + c
      = a ( x2  +  b/a.x + b2/4a2 - b2/4a2  ) + c
      = a ( x2  +  b/a.x + b2/4a2 ) – (ab2/4a2 )  + c
      = a ( x  +   b/2a )2 – (b2/4a) + c
     = a ( x  +   b/2a )2 – {b2/4a) + c.( 4a/4a )}
     = a ( x  +   b/2a )2 – {(b2/4a) + (4ac//4a}}
      = a ( x  +   b/2a )2 – (b2 – 4ac) / 4a ; dengan D = b2 – 4ac
      = a ( x  +   b/2a )2 D/4a
      Dari pembehasan di atas, tampak bahwa fungsi f akan memncapai nilai optimum jika :
      x + (b/2a) = 0 atau x = - (b/2a). Oleh sebab itu fungsi f mencapai nilai balik – D/4a  untuk x = - b/2a, Titik balik maksimum jika  a < 0 dan titik balik minimum jika a > 0. Dengan demikian titik balik ( puncak ) grafik fungsi f adalah ( - b/2a, - D/4a)dan garis sumbu simetri melalui titik balik yaitu melalui x = -b/2a.
2.   Langkah-langkah Membuat Grafik Fungsi Kuadrat
          Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
1). Menentukan beberapa titik anggota fungsi f dengan cara memilih beberapa nilai x elemen bilangan bulat pada daerah asal fungsi (codomen), selanjutnya hitunglah nilai fungsi f ( range fungsi atau daerah hasil fungsi, menggunakan daftar ( tabel).
2). Gambarkan koordinat titik-titik yang telah diperoleh pada langkah satu, pada sebuah bidang koordinat atau bidang bidang Cartesius.
3). Hubungkan titi-titik yang telah digambarkan pada bidang Cartesius pada langkah 2,    
      sehingga terbentuklah kurva parabola.
Contoh 1 : Gambarlah grafik fungsi : y = x2 – 4x + 4 , jika daerah asalnya adalah :
D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 4 }
Jawab:
Langkah 1 :
         Menentukan titik-titik ( Codomen) untuk disubstitusikan ke fungsi y = x2 – 4x + 4
Menggunakan tabel.:
Titik
A
B
C
D
E
x
0
1
2
3
4
y
4
1
0
1
4

Langkah 2,          
Gambarkan koordinat ( absis dan ordinat), yaitu : A(0,4) ; B(1,1), C(2,0), D(3,1), E(4,4), pada bidang Cartesius
Langkah 3: Hubungkan titik absis dan ordinat ( koordinat) masing-masing titik tersebut.



       
                                   Gambar 1. Grafik Fungsi Kudrat
               Berdasar pada gambar 1, Grafik fungsi kuadrat di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut:
1.   Daerah asal fungsi f adalah D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 4, x ɛ R }
2.   Daerah hasil fungsi f adalah { y  │ 0 ≤ y ≤  4 , y ɛ R }
3.   Pembuat nol fungsi adalah  x = 2, sebab jika disubtitusikan ke fungsi maka:
                                             y = x2 – 4x + 4
                                             Y = 22 – 4 (2) + 4
                                              Y = 8 – 8
                                              Y = 0
4.   Sumbu simetri  adalah x = - b/ 2a
                                     x =  - (-4) / 2
                                      x = 4/2
                                      x = 2
5.   Titik balik kurva parabola adalah x = - b / 2a , jadi x = 2
6.   Kurva parabola terbuka ke atas sebab a > 0 yaitu a = 1
Contoh 2 : Gambarlah grafik fungsi : y = -x2 + 5x -4  , jika Codomennya,  D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 5}
Jawab :
1.    Menentukan titik-titik ( Codomen) untuk disubstitusikan ke fungsi y = - x2 + 5x – 4,
Menggunakan tabel.:
Titik
A
B
C
D
E
F
x
0
1
2
3
4
5
Y
- 4
0
2
2
0
-4
Langkah 2,         
Gambarkan koordinat ( absis dan ordinat), yaitu : A(0,-4) ; B(1,0), C(2,2), D(3,2), E(4,0), dan F( 5,-4). pada bidang Cartesius
Langkah 3 : Hubungkan titik-titik koordinat maing-masing-masing titik tersebut.



         Gambar.2 : Grafik fungsi kuadrat.
          Berdasar pada gambar 2, Grafik fungsi kuadrat di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut:
1.   Daerah asal fungsi f adalah D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 5, x ɛ R }
2.   Daerah hasil fungsi f adalah { y  │ -4 ≤ y ≤  2,5 , y ɛ R }
3.   Pembuat nol fungsi adalah  x = 1 dan 4, sebab jika disubtitusikan ke fungsi maka:
                                             y = - x2 + 5x – 4
                                              Untuk x = 1 maka y =  - (1)2 + 5(1) -4 = 0
                                              Untuk x = 4 maka y = -(4)2 + 5(4) – 4 = 0
4.   Sumbu simetri  adalah x = - b/ 2a, maka  x =  -5/2.(-1)  = -5/-2 = 2,5
5.   Titik balik kurva parabola adalah x = - b / 2a , jadi x =  -5/2.(-1)  = -5/-2 = 2,5
                                                                                x = 2,5
6.   Kurva parabola terbuka ke bawah,  sebab a <0 yaitu a = -1
D.   Kesimpulan
          Berdasar pada pembahasan di atas maka Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melaui Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik”, juga merupakan model  pembelajaran yang dilakukan dengan cara menggali potensi kemampuan yang dimiliki siswa.
E.    Sumber Pustaka
Albert B. Bennet, Jr, 2004. Mathematics For Elementtary Teaches A Conceptual Approach.   
                 New York : Higher Education.

Herman Hudoyo, 1988. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Dirjen Dikti, LPTK.

Kennedy Leonard M, 1994. Guding Children’s Learning of Mathematics. California : Steve
                 Tipps. 

Simangunsong, 1987.Materi Metode dan Penilaian. Jakarta: Penerbit Akademika Pressindo.

Soelaeman M.I, 1988. Suatu Telaah Tentang Manusia –Religi- Pendidikan. Jakarta:
                       Dirjen Dikti, PPLPTK.

Suhendra , dkk, 2008. Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika.Jakarta :
                 Penerbit Universitas Terbuka.