Suatu Tinjauan Geometri Dari Sudut Pandang Ilmu Deduktif

Suatu Tinjauan Geometri Dari Sudut Pandang  Ilmu Deduktif

Oleh : Saryanto,

UPBJJ-UT Purwokerto

12 September 2018.

I.     Pendahuluan

          Pada umumnya peradaban kuno berpusat di sekitar lembah sungai yang subur, sebagai contoh : “ Peradanban Babilonia ( Irak Kuno) berpusat di lembah sungai Euphrat dan Tigris dan peradaban     Mesir kuno berpusat di lembah sungai Nill.

          Berbeda dengan peradaban Yunani kuno, adalah berpusat di daerah perbukitan kapur yang terjal dan tandus serta dikelingi oleh pantai-pantai curam. Faktor penyebab Yunani menjadi pusat peradaban kuno, antara lain:

1.    Bangsa Yunani  adalah bangsa yang suka / gemar belajar

2.    Bangsa Yunani adalah bangsa yang suka / gemar merantau dan berdagang.

          Banyak ilmuwan bangsa Yunani kuno yang belajar ke Mesir dan Babilonia, dan hasil pengalaman belajar mereka dipergunakan untuk memajukan negeri Yunani.

          Sekitar abad 9-6 SM, banyak polis yang muncul di Yunani, tetapi hanya dua yang  berkembang menjadi polis yang kuat, yaitu polis Sparta berpusat di kota Attica dan polis Athena berpusat di kota Athena. Untuk menambah wawasan anda wilayah Yunani, dibawah ini ditunjukkan peta lokasi wilayah Yunani Kuno.

       Gambar : Peta Wilayah Yunani        

         Perhatikan  peta lokasi Wilayah Yunani tersebut di atas, bahwa wilayah Yunani merupakan wilayah daratan dan wilayah kepulauan. Perlu anda ketahui bahwa secara Geografis wilayah Yunani kuno,  dikelilingi oleh :

1.    Sebelah Barat     : Laut Adriatic dan Laut Tengah

2.    Sebelah Timur    : Laut Aegean

3.    Sebelah Utara     : Illrya, Macedonia, Imperium / Kekuasaan Persia

          Berdasar pada letak geografis di atas, maka wilayah Yunani merupakan wilayah  strategis karena letaknya di jalur perdagangan laut yang menghubungkan Eropa Barat dengan Mesir ( Benua Afrika Utara  )dan Babilonia di Asia Barat.

          Kota Attica di Yunani berkembang menjadi pusat perdagangan dan merupakan pusat polis Sparta. Bentuk negara polis Sparta adalah kekaisaran dengan kepala negara dipegang oleh dua orang raja, sedangkan kepala pemerintahannya dipegang oleh Ephor ( dewan para tetua). Sistem Pemerintahan Sparta adalah adalah sistem pemerintahan militeristik.

         Kota Athena berkembang menjadi pusat kekaisaran, dengan kepala negara dipegang oleh seorang raja. Kepala pemerintahannya dipegang oleh Strategos, yaitu suatu dewan yang terdiri dari sepuluh hakim atau jenderal. Pada saat raja Kleisthenines menjadi kepala negara, sistem pemerintahannya adalah sistem demokrasi, yaitu : “Setiap orang (kecuali wanita, non-warga negara, dan budak), berhak memilih Strategos, yaitu terdiri dari sepuluh hakim atau jenderal.           

          Dalam bidang ilmu pengetahuan, orang Yunani yang menjadikan konsep alam dan hidup keseharian manusia ke dalam bentuk filsafat.         

Tokoh-tokoh filsuf (ahli filsafat) asal Yunani yang dikenal hingga sekarang di antaranya:

Thales, adalah Bapak Pengetahuan Yunani yang mengambil pelajaran astronomi dari Mesir dan Persia. Thales juga seorang matematikawan. Sebagai seorang Matematikawan Yunani kuno, Thales adalah orang Yunani yang pertama kali mengemukakan teorema Geometri, yaitu :

1. Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameter nya .

2. Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama besar

3. Pasangan sudut yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus adalah  

    sama besar.

4. Dua buah segitiga adalah ≡ apabila dua sudut dan satu sisnya sama

5. Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

          Berdasar pada penjelasan di atas, maka disimpulkan bahwa geometri adalah suatu ilmu deduktif yaitu setiap penyelesaian masalah geometri berdasar pada suatu hukum yang bersifat umum, misal sebagai contoh yaitu berdasar pada aksioma atau teorema. 

          Dalam penyusunan makalah ini difokuskan pada geometri, sehingga makalah ini diberi judul : “ Suatu Tinjauan Geometri Dari Sudut Pandang  Ilmu Deduktif ”                    

II.     Rumusan Masalah   

          Berdasar pada judul makalah diaatas, dapat  disusun rumusan masalah sebagai berikut.

A.  Bilamana Sejarah Kelahiran Geometri sebagai Ilmu Deduktif di Yunani?

B.   Bagaimana Aplikasi Geometri! Sebagai Ilmu Deduktif?

III. Pembahasan Masalah

 Sejarah Kelahiran Geometri sebagai Ilmu Deduktif  

          Banyak penduduk Yunani yang belajar matematika dan Sains ke Mesir dan Babilonia, sehingga kegiatan intelektual bangsa Yunani mengalami kemajuan. Ke-giatan intelektual di Yunani muncul kira-kira tahun 800 SM, menggantikan wilayah Babilonia dan Mesir. Perpindahan kegiatan intelektual dari wilayah Babilonia dan Mesir ke wilayah Yunani berjalan mulus,.karena perkembangan kekaisaran Sparta dan Athena di Yunani.                                                                                

          Pada sekitar abad ke-6 SM, bangsa Yunani mulai memperlihatkan perkembangan dalam bidang matematika. Tokoh intelektual Matematika dan Sains bangsa Yunani antara lain : 1) Thales, 2) Pythagoras, dan 3) Euclid.  

       Dibawah ini akan dijelaskan sejarah kelahiran ketiga tokoh ilmuwan tersebut di atas yaitu :

1). Thales ( 624-548 SM), lahir di kota Militus, Yunani. Beliau pernah belajar matematika ke Mesir dan Babilonia. Sebagai seorang Matematikawan, beliau mengemukakan teorema Geometri sebagai berikut.

a. Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameter nya .

b. Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama besar

c. Pasangan sudut yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus adalah 

sama besar.

d. Dua buah segitiga adalah ≡ apabila dua sudut dan satu sisnya sama

e. Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

          Ketika Thales belajar di Mesir, beilau sempat membuat kejutan mengukur tinggi Pyramida dengan cara mengukur bayang-bayang dari pyramida tersebut. Thales mengukur tinggi pyramida dengan cara memancangkan sebuah tongkat di tanah dan mengukur tinggi pyramida ketika bayang-bayang tongkat itu sama dengan panjang tongkat itu sendiri, dan memperlihatkan bahwa tinggi pyramida itu sama dengan panjang bayang-bayangnya. Penemuan Thales tentang Pengukuran tinggi pyramida dengan cara tersebut, sempat dikagumi oleh raja Mesir ( Amasis) waktu itu.

2). Pythagoras ( 572-490 SM), adalah seorang Matematikawan yang lahir di kota      

 Samos tidak jauh dari kota Militus, Yunani. Kemungkinan Pythagoras adalah murid Thales, karena usianya hanya berbeda 50 tahun. Pythagoras pernah belajar di Mesir dan menetap beberapa tahun disana. Kemudian beliau belajar Matematika ke Babilonia dan India. Sekembalinya belajar dari Babilonia dan India, beliau menetap di Crotona (Yunani), karena kota tempat kelahirannya yaitu Samos dikuasai oleh tyrani Polycrates dan Ionia dikuasai oleh bangsa Persia. Di Crotona beliau membuka suatu akademi yang mengajarkan filsafat, matematika dan Sains.Hasil karya sekolah Pythagoras adalah menentukan bilangan triple Pythagoras mengunakan rumus.

          Bagaimana menentukan bilangan bulat tripel Pythagoras, dimana a, b adalah bilangan bulat, sebagai sisi-sisi suatu suatu segitiga siku-siku” dan c adalah bilangan bulat sebagai sisi miring segitiga siku-siku tersebut. Adapun untuk menentukan bilangan Triple Pythagoras adalah dengan Rumus :  c² = a²  + b² .

          Rumus lain untuk menentukan bilangan triple Pythagoras adalah :  

 ( 2m )²  + (m² – 1 )² = ( m² + 1 )² ,  dimana m bilangan bulat sebarang .  

Di bawah ini ditunjukkan cara mencari kelompok bilangan triple Pythagoras, dengan menggunakan rumus :  ( 2m )²  + (m² – 1 )² = ( m² + 1 )² .

  Gambar 1.

                   Tabel .  Kelompok Bilangan Triple Pythagoras                                                                                                       

No.	m	(2m)2	( m2 – 1)2	(m2 + 1 )2
1	2	16	9	25
2	3	36	64	100
3	4	64	225	289
4	5	100	576	676
5	6	144	1225	1369

                

            Berdasar tabel di atas, maka diperoleh kelompok-kelompok bilangan, antara lain :

a.    ( 9, 16 dan 25 )

b.    ( 36, 64, dan 100 )

c.    ( 64, 225, dan 289 )

d.    ( 100, 576, dan 676 )

e.    ( 144, 1225, dan 1369 )

           Kelompok-kelompok bilangan tersebut di atas, merupakan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku yang diselesaikan menggunakan rumus triple Pythagoras  

1.    Euclid ( 300 SM )

          Euclid hidup kira-kira pada saat Yunani masuk sebagai bagian wilayah kerajaan Macedonia. Raja-raja Macedonia yang berkuasa di Macedonia antara lain : 

a. Philip 338 SM,

b. Iskandar Agung 340 SM.

          Setelah Iskandar Agung meninggal, kekuasaan wilayah Macedonia dibagi menjadi tiga wilayah kekuasaan, yaitu :

a. Jenderal Ptolemy menguasai wilayah Mesir,

b. Jenderal Seleusus menguasai wilayah Syria dan

c. Jenderal Antigonus dan Cassandar mengusai wilayah Macedonia.

         Setelah Jenderal Ptolemy berkuasa di Mesir,kemudian mengangkat dirinya sebagai raja Mesir dengan gelar Ptolemy 1. Kota Alexandria oleh raja Ptolemy 1 dijadikan sebagai pusat pemerintahan kerajaan Mesir. Kota Alexandria oleh raja Ptolemy 1, dikembangkan sebagai pusat ilmu Pengetahuan dan Kebudayaan.

          Di kota Alexandria oleh raja Ptolemy 1, didirikan Universitas dengan sarana dan prasarana yang serba lengkap. Sarana dan prasarana tersebut antara lain berupa :  Ruang kuliah yang cukup, laboratorium, perpustakaan, perumahan dosen dan asrama mahasiswa. Tenaga dosen Universitas didatangkan dari luar Alexandria, terutama di datangkan dari Yunani. Perpustakaan Universitasnya merupakan perpustakaan terbesar di dunia saat itu.

          Ptolemy 1 memilih ilmuwan diangkat sebagai Ketua Departemen Matematika di Alexandria yaitu Euclid. Euclid menulis dua belas buku, yang terdiri dari bermacam-macam cabang ilmu pengetahuan, seperti matematika, Fisika, Astronomi dan Musik. Dari seluruh karyanya itu yang paling terkenal adalah yang berjudul : “ The Elements”. Buku The Elements adalah karya besar matematika yang sangat populer dan tidak ada tandingannya. Buku ini diterbitkan pertama kali tahun 300 SM. Sampai sekarang buku The Elements masih dijadikan orang sebagai dasar dalam pelajaran Geometri Deduktif.          

          Buku The Elements terdiri dari 13 jilid, pada jilid 1 s/d 6, Euclid memberikan lima dalil ( postulat) yaitu :

1.    Melalui dua titik dapat dibuat suatu garis.

2.    Dalam suatu garis lurus dapat dibuat tak terhingga banyaknya garis-garis lurus secara kontinyu.

3.    Suatu lingkaran dapat dilukis dengan sembarang titik pusat dan jari-jari tertentu.

4.    Semua sudut siku-siku adalah sama.

Apabila suatu garis memotong dua garis lainnya dan sudut dalam yang terjadi jumlahnya lebih kecil dari dua sudut siku-siku, maka apabila kedua garis tersebut diperpanjang aka

1.    bertemu pada suatu titiik, yaitu pada bagian ( arah ) dimana jumlah kedua susdut dalamnya lebih kecil dari dua sudut siku-siku.

          Dalam buku The Elements, Euclid juga memberikan lima Aksioma yaitu :

1.    Suatu yang sama dengan yang lainnya adalah sama satu sama lainnya.

2.    Apabila yang sama ditambahkan dengan yang sama, maka keseluruhannya adalah sama.

3.    Apabila suatu yang sama dikurangi dengan yang sama, maka sisanya adalah sama.

4.    Sesuatu yang serupa ( coinside) dengan yang lainnya adalah sama satu sama lainnya.

5.    Keseluruhan adalah lebih besar dari sebagian.

          Berdasar pada penjelasan di atas, bahwa “ Geometri Deduktif “, adalah setiap kasus geometri penyelesaiannya menggunakan suatu hukum yang bersifat umum, misal sebagai contoh menggunakan :

a. Aksioma (comon nation )  

b. Teorema.

c. Postulat ( dalil ),

A.   Aplikasi Ilmu Deduktif Pada Geometri

          Perlu anda ketahui bahwa penyelesaiannya kasus geometri menggunakan suatu hukum yang bersifat umum, misal sebagai contoh menggunakan : 

“ Sistem Aksiomatik ( comon nation ) “. 

          Sistem aksiomatik adalah sustu prosedur bahwa suatu hasil pembuktian diakui valid ( benar), jika didapat melaui suatu percobaan, observasi, dan pengamatan intuitif. Adapun pembuktian kebenaran, dapat digambarkan melalui rangkaian pernyataan sebagai berikut.

                                            

Perlu anda ketahui bahwa istilah atau unsur pembuktian suatu kebenaran kasus geometri yang mengunakan sistem aksiomatik antara lain berdasar pada :

1.    Undefined Term ( unsur atau istilah tidak dapat didefinisikan )

2.    Defined Term ( Unsur atau istilah yang didefinisikan).

3.    Aksioma ( unsur atau istilah yang diakui kebenarannya tanpa pembuktian )

4.    Teorema ( unsur atau istilah yang diakui kebenarannya, melalui suatu pembuktian kebenaran )

5.    Postulat atau dalil (unsur atau istilah yang diakui kebenarannya melalui suatu pembuktian ).         

          Terdapat tiga jenis Geometri yang pembuktian kasus kebenarannya  berdasar pada sistem aksiomatik, yaitu :  

1.    Geometri Euclides,

2.    Geometri Non Euclides,

3.    Geometri Proyektif.

          Selanjutnya di bawah ini akan ditunjukkan contoh-contoh  penyelesaian kasus goemteri Euclid mengunakan sistem Aksiomatik.

Contoh 1 :  Sistem Aksiomatik dengan Undefined Term /  unsur atau istilah tidak didefinisikan

Titik dan garis dan relasi “ pada”, ditetapka sebagai berikut :

Aksioma 1 : Terdapat tepat 3 titik yang berbeda

Aksioma 2 : Dua titik tepat pada satu garis

Aksioma 3 : Tidak semua titik pada garis yang sama

Aksioma 4 : Sebarang dua garis berbeda pada paling sedikit satu titik yang memuat keduanya.

          Dari aksioma tersebut di atas dapat diturunkan beberapa Teorema, yaitu :

Teorema 1 ; Dua garis berbeda pada tepat satu titik

Teorema 2 : Terdapat tepat tiga garis

Teorema 3 : Setiap garis mempunyai dua titik padanya.

Contoh : 1

Buktikan : Suatu garis tidak memuat tiga titik berbeda.

Bukti :  Andaikan satu garis memuat tiga titk berbeda. 

 

            Sehingga pengandaian satu garis m memuat tiga titik berbeda yaitu titik P, Q dan R adalah 

            kontradiksi denganaksioma 2. Atau pengandaian satu garis melalui tiga titik adalah salah.

            Yang benar adalah : " Dua titik tepat pada satu garis" atau : " Suatu garis tidak memuat tiga  

             titik berbeda adalah benar. Jadi satu garis tidak memuat tiga titik titik berbeda terbukti benar.

            Contoh 2 :  Buktikan setiap garis pada tepat dua titik  ( Bukti langsung )

  Bukti :  Perhatikan Teorema 2 : Terdapat tepat tiga garis; Misal garis itu adalah  : Misal 3  garis itu                   adalah : m, n, dan l .

              Perhatikan Teorema 1 ; Dua garis berbeda pada tepat satu titik ;  

              Sehingga  garis m  memuat dua titik yaitu : titik R dan titik P dan  garis n  memuat dua titk  

              yaitu :  titik P dan titik  Q ) serta garis  l memuat dua titik yaitu :  titk R, dan titik Q . Jadi 

              setiap garis memuat dua titik. Terbukti  setiap garis pada tepat dua titik

           Berdasar penjelasan contoh 1, dan contoh 2, tersebut di atas maka disimpulkan bahwa  penyelesaian kasus geometri menggunakan suatu hukum yang bersifat umum ( misal : Aksioma, Teorema ) atau penyelesaian kasus geometri dilskukukan secara deduktif. Jadi Geometri merupakan ilmu deduktif.                  

IV.    Kesimpulan

1.    Geometri khususnya dan Matematika pada umumnya merupakan ilmu yang sangat tua usianya, tetapi masih nampak cantik dan menarik untuk dipelajari.

2.    The Elements, adalah buku karya Euclid diterbitkan pertama kali tahun 300 SM, masih dijadikan sebagai dasar dalam pelajaran Geometri Deduktif sampai saat ini.         

3.    Penyelesaian kasus Geometri Euclid berdasar pada Sistem aksiomatik, yaitu cara pembuktian suatu kebenaran kasus geometri berdasarkan pada aksioma dan teorema.

V.      Sumber Pustaka

Herman Hudojo, 1988. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Dirjen Dikti PPLPTK Depdikbud.

Internet ,  Pukul  12. 15 WIB  10/08/2018. Peta Lokasi Wilayah Yunani . Sumber Bacaan : Geogle

                           Chrom.

Internet ,  Pukul 12.45 WIB Tgl. 10/09/2018. Sejarah Kerajaan Yunani Kuno. Sumber Bacaan: Geogle

                            Chrom.

Muctar G, 1988. Sejarah Matematika. Padang: Badan Penerbit FPMIPA IKIP Negeri Padang.

Sri Mulyani, 1999. Geomtri Aksiomatik. Malang : Penerbit FMIPA Universitas Negeri Malang.

Sutawidjaya Akbar, 2001. Matakuliah Geometri. Malang :  PSSJ Pendidikan Matematika Universitas

                             Negeri Malang.