SUATU TINJAUAN PERKIRAAN JUMLAH PENDUDUK INDONESIA DENGAN FUNGSI EKSPONEN

SUATU TINJAUAN TEORI PERKIRAAN JUMLAH PENDUDUK DENGAN FUNGSI EKSPONEN
                                                                      


                                                       Makalah ini Disajikan pada diskusi Ilmiah
                             Dosen-dosen Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan -Universitas Terbuka
                                         Unit Program Belajar Jarak Jauh (UPBJJ)-UT Purwokerto
                                                              Tanggal 22 Desember 1999
                                         di Ruang Aula Universitas Terbuka UPBJJ Purwokerto






                                                                        Oleh :
                                                                    Saryanto



      Mengetahui,                                                             Telah dilaksanakan
      Kepala UPBJJ-UT Purwokerto                                Hari/ Tanggal : Rabu, 22 Desember 1999
                                                                                       Penyelenggara Diskusi Ilmiah
                                                                                                        Ketua
                  ttd                                                                                     ttd

     Drs. Lestanto Unggul Widodo, MS                                          Drs. Soejoto
     NIP. 130801794                                                                     NIP. 130530059


                         DEPARTEMEN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN 
                         UNIVERSITAS TERBUKA UPBJJ PURWOKERTO
                                              





I. Pendahuluan
          Letak Wilayah Kepulauan Indonesia secara geografis terletak di antara dua benua yaitu Benua Asia dan Benua Australia, Serta diapit oleh dua samudera yaitu Samudera Indonesia dan Samudera Pasifik. Penduduk yang menghuni wilayah kepulauan Indonesia jumlahnya menduduki urutan terbesar kelima setelah RRC, India, Rusia, Amerika Serikat.
          Kemajuan Ilmu Pengetahuan dan teknologi (IPTEK)di Indonesia, terutama pada peralatan teknik kedokteran dan industri obat-obatan dan industri jamu berdampak positip terhadap peningkatan kese- hehatan masyarakat Indonesia. Keberhasilan program Keluarga Berencana (KB) juga berdampak positip terhadap pengendalian kelahiran yang tinggi, tingkat kematian menurun serta angka usia harapan hidup penduduk meningkat.
          Jika tidak diantisipasi sejak dini, sejuta harapan hidup kelangsungan hidup penduduk Indonesia akan terancam oleh ledakan penduduk yang konstan karena tidak diimbangi oleh pertambahan bahan pangan.

           Tepatlah apa yang dikatakan oleh Thomas Robert Malthus bahwa : “ Jika tingkat pertambahan penduduk konstan maka pertambahan penduduk akan bertambah menurut formula Deret Ukur ( deret Geometri), sedangkan pertambahan bahan pangan akan bertambah mengikuti  formula Deret Hitung(deret Arithmatika).

           Berbeda dengan  Daldjoeni(1981:xx), menamakan pertambahan penduduk konstan, dengan istilah pertambahan penduduk eksponsial. Hal itu tidak perlu dipermasalahkan, yang penting  adalah bagaimana cara memprediksi pertambahan penduduk konstan atau eksponsial setiap tahun.

          Untuk menghitung pertambahan penduduk yang tepat tiap tahun, perlu dilakukan sensus penduduk. Hali itu tidak mungkin dilakukan sensus penduduk setiap tahun, karena diperlukan biaya yang cukup besar. Sehingga untuk menghemat biaya , sensus dilakukan tiap 10 tahun sekali. Sedangkan untuk memprediksi pertambahan penduduk tiap tahun perlu dicari dengan menggunakan formula tertentu. Dengan formula matematika apakah pertambahan penduduk tiap tahun dapat diprediksi?

          Dari uraian di atas penulis ingin membahas makalah ini dengan Judul : “ Suatu Tinjauan Teori Perkiraan Jumlah Penduduk Indonesia dengan Fungsi Eksponen”

 

II. Rumusan Masalah

          Yang menjadi fokus masalah dalam makalah ini adalah fungsi Eksponen, sehingga rumusan masalahnya dapat disusun seperti tersebut di bawah ini.

A. Apakah hakekat fungsi Eksponen ?

B. Mengapa fungsi Eksponen digunakan untuk memprediksi pertambahan penduduk setiap tahun?

C. Bagaimana cara memprediksi pertambahan penduduk Indonesia setiap tahun?

III. Tujuan

          Tujuan yang hendak dicapai dalam penulisan makalah ini adalah agar para pembaca dapat:

      A. Menganalisis hakekat Fungsi Eksponen

      B. Mendeskripsikan Fungsi Eksponen yang terkait dengan prediksi pertambahan penduduk Indonesia setiap 

          tahun.

      C.  Mengaplikasikan Fungsi Eksponen dalam memprediksi pertambahan penduduk Indonesia tiap tahun.   

      D.Dampak pengiring apakah setelah  anda menguasai ilmu pengetahuan tersebut?

     IV. Pembahasan
     
      A. Hakekat Fungsi Eksponen

          Untuk mengawali pembahasan fungsi Eksponen, perlu penulis ketengahkan lebih dulu tentang sifat-sifat bilangan Eksponen atau bilangan berpangkat seperti tersebut di bawah ini.

          1. a^p . a^q = a^{p + q}

          2. a⁰ = 1, syarat  a≠0

          3. a^p/ a^q = a^{p - q}

          4. a ^{- p} = 1/a^p _, syarat  a≠0

          5. (a^p)^q = a^pq

          6. a^m/n = ⁿÖ(a^m)

          7. (a.b)^p = a^p . b^p

                       Agar lebih memahami sifat-sifat bilangan eksponen , perhatikan contoh di bawah ini.

              (8^{3 .}4⁵)/(16)² =  . . . ?

              Jawab : 

             (8^{3 .}4⁵)/(16)² = { (2³)³ . (2²)⁵}/(2⁴)²

                                   = {2⁹.2¹⁰}/2⁸  . . .sifat 5

                                   = 2^{9 + 10}/2⁸   . . . . sifat 1

                                   = 2¹⁹/2⁸    

                                   = 2^19-8         . . . . sifat 3

                                   = 2¹¹

                      Selanjutnya  untuk memahami tentang fungsi atau pemetaan , diperlukan tiga hal yaitu

             1. Himpunan A

             2. Himpunan B

             3. Suatu kalimat terbuka yang merupakan aturan yang mengaitkan tiap elemen dari  x ε A de-

               ngan suatu elemen tunggal y ε B.. Agar lebih jelas perhatikan gambar diagram panah  

            tersebut di bawah ini.                                

                        

                                                 Gambar 1                       

                Dari diagram panah (Gambar 1) tersebut tampak bahwa:

               A =  (1,2,3,4)

               B = (2,4,6,8)

                         Setiap elemen himpunan A dihubungkan dengan tepat satu elemen himpunan B. Re-

              lasi yang demikian menurut Pantur Silaban (1989 : 48) bahwa : “ Andaikan tiap-tiap elemen  

              dalam sebuah himpunan A ditetapkan melalui beberapa macam cara, sebuah elemen tung-

              gal dari himpunan B disebut fungsi atau pemetaan”.

                       Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi itu ditulis dengan symbol : 

f       f :A → B. Dibaca f memetakan A ke B.

                        Dari diagram panah (gambar 1) tersebut di atas dapat dibaca sebagai berikut :

1.       f memetakan 1 elemen A ke 2 elemen B atau dikatakan 2 adalah peta dari 1 oleh f dan ditulis f(1) = 2.

2.       f memetakan 2 elemen A ke 4 elemen B atau dikatakan 4 adalah peta dari 2 oleh f dan ditulis f(2) = 4.

3.       f memetakan 3 elemen A ke 6 elemen B atau dikatakan 6 adalah peta dari 3 oleh f dan ditulis f(3) = 6.

4.       f memetakan 4 elemen A ke 8 elemen B atau dikatakan 8 adalah peta dari 4 oleh f dan ditulis f(4) = 8.

          Dengan perkataan lain maka  jika sebuah fungsi f memetakan setiap x ε A dengan tepat

        f         ke satu anggota y ε B, dapat ditulis dengan : f : x → y. Dibaca y adalah peta dari x oleh f,  atau 

                 f : x → y = fx).

                           Dari gambar diagram panah (gambar 1), di atas dapat ditulis dengan : 

           f : x → a^x

      f = {(x,y) / y = a^x , a > 0 , a ≠1} fungsi eksponen . Dibaca : syarat fungsi eksponen

      adalah bilangan pokok harus positip dan tidak boleh sama

      dengan satu, atau ditulis dengan simbol : a > 0 dan a ≠ 1.

      Contoh :

      a = sebagai bilangan pokok(basis)= 2

      x = sebagai pangkat ( eksponen) = 0, 1, 2, 3, 4, . . . ..

      Jika nilai-nilai fungsi tersebut di atas dimasukan dalam

      tabel adalah seperti tersebut di bawah ini.

x	0	1	2	3	4
Y = 2x	1	2	4	8	16

               Dengan menggunakan tabel nilai-nilai fungsi

      tersebut kita dapat menggambar grafik fungsi eksponen:

                                         Gambar 2.

                Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa grafik

       fungsi eksponen y = f(x)= a^x, dimana nilai bilangan 

      pokok (a > 0dan xε R)grafiknya dari arah kiri ke kanan

       senantiasa naik, artinya jika nilai x bertambah maka

      bertambah pula nilai y. Pertambahan itu makin lama makin

      cepat dan dikatakan tumbuh secara eksponsial.Apabila se-

      suatui itu tumbuh (berkembang) seperti tampak pada

      gambar 2, maka sesuatu itu disebut tumbuh secara

      eksponsial.

      Grafik fungsi y = f(x)= k.a^x, dengan bilangangan

     pokok ( a= (1 + p), dan p>0, maka y = f(x)= k.a^x

     berubah menjadi :

     f(x)= k.a( 1 + p)^x, dengan k>0.

     f(x)= k.a( 1 + p)^x, disebut formula pertumbuhaneksponsial

     atau pertumbuhan geometri.

       Akan tetapi jika f : x → a^x, f = {(x,y) / y = a^x , 0 < a < 1, dan x ε R.

            Misal :

            a = sebagai bilangan pokok(basis)= 1/2

       x = sebagai pangkat ( eksponen) = 0, 1, 2, 3, 4, . . . ..

                Jika nilai-nilai fungsi tersebut di atas dimasukan

       dalam tabel adalah seperti tersebut di bawah ini.
       

 

x	-3	-2	-1	0	1	2
Y =  (1/2)x	8	4	2	1	1/2	1/4

                Dengan menggunakan bantuan tabel nilai-nilai fung-

     si, kita menggambar grafik fungsi eksponen seperti tersebut

     di bawah ini.

 

                      Gambar 3.

                Grafik fungsi y = f = {(x,y) / y = a^x , 0 < a < 1, dan x ε R, lihat (gambar 3),

          grafiknya dari  kiri ke kanan senantiasa turun artinya jika nilai x menurun maka nilai y menurun

          pula. Penurunan itu makin lama makin cepat sehingga dikatakan menyusut atau meluruh secara

         eksponsial. Jika sesuatu itu menurun seperti tampak pada (gambar 3) sesuatu itu disebut menyusut

         atau meluruh secara eksponsial,            

               Grafik fungsi y = f = {(x,y) / y = k.a^x , jika 0 < a < 1, dan x ε R, lihat

        (gam bar 3), Apabila a = (1 – p) dan p >0, berubah menjadi y =f(x) = k.( 1 – p)^x .

        f(x) = k.( 1 – p)^x , merupakan formula penyusutan eksponsial atau peluruhan eksponsial

               Dari uarian di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi

      eksponen dapat digunakan untuk mengetahui sesuatu itu

      sedang berkembang atau sedang mengalami penurunan.  

      B. Manfaat Fungsi Eksponen    

                         Dari urain di atas, bahwa fungsi eksponen bemanfaat untuk mengetahui sesuatu itu

          sedang berkembang atau sedang mengalami penurunan.

          Formula fungsi eksponsial dapat  digunakan dalam bidang sosial, ekonomi dan budaya antara 

lain untuk : 

1.Menghitung perkembangan tabungan di Bank

2.  Menghitung pertumbuhan bakteri

3.  Memprediksi pertumbuhan Penduduk.
        Keunggulan formula fungsi eksponsial dalam mencari solusi pertambahan penduduk lebih menghemat biaya serta lebih cepat jika dibandingkan dengan cara sensus.Keunggulan lainnya adalah jika untuk mengetahui jumlah penduduk menunggu hasil sensus adalah terlalu lama yaitu menunggu sepuluh tahun. Akan tetapi kelemahannya jumlah penduduk yang diperoleh adalah kurang akurat karena sifatnya hanya perkiraan saja.

             Senada dengan pernyataan di atas, seorang pakar matematika juga mengemukakan pendapatnya seperti berikut :

      “Ruseffendi(1991: 28), menulis pendapat Kline bahwa : Matematika bukanlah pengetahuan yang menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya mate-matika terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan social, ekonomi dan alam”.

      
       C. Memprediksi Jumlah Pertambahan Penduduk Indonesia Setiap Tahun
            

                Berdasarkan data sensus tahun 1971, jumlah penduduk Indonesia = 119232499 jiwa dan data sensus tahun 1981, penduduk Indonesia berjumlah 147383075 jiwa( Daldjoeni , 1981:248).

      Jika data kedua hasil sensus tersebut digunakan untuk mencari tingkat pertambahan penduduk Indonesia tiap tahun,  serta mencari berapa jumlah penduduk  Indonesia pada tahun 1977?

              Untuk mencari tingkat pertambahan penduduk Indonesia setiap tahun disusun langkah-langkah sebagai berikut:

            1. Susun barisan Geometri 

            2. Cari rasio  pertambahan geometri   

            3. Cari jumlah penduduk tahun tertentu.

         !. Susun barisan Geometri

             U_1, U_2, U_{3, . . . .}

             U₁  =  suku pertama  (data sensus 1971) =  119232499

             U₂   =  suku kedua

         2. Menghitung Rasio Pertambahan Penduduk  Indonesia

                       Untuk menghitung rasio pertambahan penduduk selama 10 tahun, digunakan rumus :

              r    =  rasio  = U₂/U₁ = 147383075/119232499

              r    =  1,2361

                       Untuk mencari rasio pertambahan penduduk setiap tahun, dihitung dengan formula

             sebagai berikut :

           r  =  ( 1 + r ^‘ ) ¹⁰

          1,2361  =  ( 1 + r ^‘ ) ¹⁰

          log 1,2361  =  log ( 1 + r ^‘ ) ¹⁰

          ^glog aⁿ       = n ^glog a 

          log 1,2361  =  10 log ( 1 + r ^‘ )

          0,0920       = 10 log ( 1 + r ^‘ )

          0,0920 /10  = log ( 1 + r ^‘ )

          0,0092       =  log ( 1 + r ^‘ ) 

         1,02141         =   1   +   r’

         r’                    =    1,02141 – 1

         r’                    =    0,02141

                   Jadi rasio pertambahan penduduk tiap tahun adalah  r’    =    0,02141 atau tingkat 

         pertambahan penduduk Indonesia setiap tahun = 2,1 %.

         Selanjutnya untuk memprediksi jumlah penduduk pada tahun tertentu, penulis guna-

         kan  formula “ Pertambahan penduduk geomtri yaitu :  P_n = P_o  (  1 +  r’ )ⁿ

         P_n =  Jumlah penduduk tahun ke- n

         P₀  = Jumlah penduduk awal tahun

         r’   =  rasio pertambahan penduduk geomtri setiap tahun =   0,02141

                  Berdasar data sensus penduduk Indonesia tahun 1971 yang berjumlah =

        119232499 jiwa dan data sensus penduduk Indonesia tahun 1981 adalah = 147383075 jiwa,

         maka jumlah penduduk tiap tahun antara dua sensus tersebut adalah  sebagai berikut :

         Jumlah penduduk Indonesia tahun 1971 = 119232499 sebagai  (P₀)

        Jumlah penduduk Indonesia tahun  1972  ( P₁)         =  P_o ( 1 +  r’ )¹

                                                                                 P₁  =  119.232.499 ( 1 + 0,02141)

                                                                                 P₁  = 119.232.499 ( 1,02141)

                                                                                 P₁ = 121.784.075

         Jadi jumlah penduduk Indonesia tahun 1972 adalah 121.784.075 jiwa.

         Jumlah penduduk Indonesia tahun 1973  (P₂)           = P₀ ( 1 +  r’ )²

                                                                                   P₂ = P₀ ( 1 +  r’ )²

                                                                                    P₂= 119.232.499 ( 1 + 0,02141)²

                                                                                    P₂= 119.232.499 ( 1,02141)²

                                                                                    P₂= 119.232.499 ( 1,043278388)

                                                                                    P₂= 119.232.499 ( 1,043278388)

                                                                                    P₂= 124392689

          Jadi jumlah penduduk Indonesia tahun 1972 adalah 124392689 jiwa.

          Jumlah penduduk Indonesia tahun 1974  (P₃)          = P₀ ( 1 +  r’ )³

                                                                                   P₃ = P₀ ( 1 +  r’ )³

                                                                                    P₃= 119.232.499 ( 1 + 0,02141)³

                                                                                    P₃= 119.232.499 ( 1,02141)³

                                                                                    P₃= 119.232.499 (1,065615)

                                                                                    P₃= 127.055.939

           Jadi Jumlah penduduk Indonesia tahun 1974 (P3) berjumlah 127.055.939 jiwa.

           Jumlah penduduk Indonesia tahun 1975   (P₄)        = P₀ ( 1 +  r’ )⁴

                                                                                   P₄ = P₀ ( 1 +  r’ )⁴

                                                                                    P₄= 119.232.499 ( 1 + 0,02141)⁴

                                                                                    P₄= 119.232.499 ( 1,02141)⁴

                                                                                    P₄= 119.232.499 (1,088429795)

                                                                                    P₄= 129776205

           Jadi jumlah penduduk Indonesia tahun 1975 (P₄) adalah 129776205 jiwa.

                    Dari uraian tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa pertambahan penduduk Indone-

           sia setiap tahun bertambah 2,1 %. Sehingga dapat diperkiraan jumlah penduduk Indonesia

           pada 10 tahun yang akan datang, atau bahkan dapat diprediksi jumlah penduduk

           Indonesia 20 tahun mendatang.  Jika tidak ada upaya mengurangi angka pertambahan

           penduduk Indonesia yang terlalu cepat maka upaya-upaya pembangunan yang

           dilakukan oleh pemerintah akan sia-sia.

          

          V. Penutup

          A. Kesimpulan

                  Ber dasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa :

1.       Untuk menghitung pertambahan penduduk yang tepat tiap tahun, biasanya dilakukan de-ngan sensus penduduk. tiap 10 tahun sekali .

2.       Untuk menghitung dengan sensus setiap tahun , tidak mungkin dilakukan, karena diperlukan biaya yang cukup besar.

3.       Dengan menggunakan formula fungsi eksponen, didapat Jumlah pertambahan penduduk In-donesia 2,1 %, setaip tahun.

      Daftar  Pustaka

      A.H Polards, 1982. Teknik Demografi. Jakarta : PT. Bina Aksara.

      Budhi Prayitno, 1996. Matematika. Jakarta : Penerbit Erlangga.

      Daldjoeni, 1981. Masalah Penduduk dalam Fakta dan Angka. Bandung : Penerbit Alumni.

      Nathan Keyfitz, 1964. Soal Penduduk dan Pembangunan Indonesia. Jakarta: PT. Pembangunan.

      Pantur Silaban, 1989. Teori Himpunan. Jakarata: Penerbit Erlangga.

      Sartono Wirodikromo, 1994. Matematika. Jakarta: Pemnerbit Erlangga.

      Sukirman, 1997. Matematika . Jakarta : Universitas Terbuka.

      Sumadi, 1995. Matematika 2B. Solo: PT Tiga Serangkai.