Kalkulus Suatu Tinjauan dari Sudut Pandang Himpunan
( Saryanto-
UPBJJ-Purwokerto)
4 Januari 2017
A. Pendahuluan
Pada jaman
prasejarah, ketika itu manusia hidup dengan cara berburu atau mengumpulkan hasil
hutan (misal : buah-buahan). Jumlah penduduk atau jumlah manusia dapat dibilang
masih sedikit, sehingga jumlah bahan makanan yang diperlukan manusia dapat
dipenuhi oleh alam sekitar dengan cara berburu atau mengumpulkan hasil hutan.
Sejarah telah mencatat bahwa pada
jaman prasejarah di Indonesia, Goa dijadikan tempat tinggal manusia, hal ini
ditunjukkan oleh ditemukannya peninggalan kebudayaan berupa ujung anak panah
dan kapak batu yang digunakan sebagai alat berburu binatang atau mengumpulkan
hasil hutan.
Untuk mengetahui jumlah binatang
hasil buruan ataupun jumlah buah-buahan yang dikum-pulkan dari hasil hutan,
tentunya ada cara yang digunakan oleh manusia jaman itu. Kita katakan bahwa cara
yang paling sederhana yang digunakan untuk mengetaui jumlah hasil binatang
buruannya adalah dipasangkan dengan jumlah busur panah yang telah berhasil digunakan
untuk menangkap hewan buruan tersebut.
Pemasangan/relasi himpunan binatang hasil buruan
dengan himpunan busur anak panah yang telah digunakan dinamakan pemetaan atau
fungsi. Relasi antara himpunan busur anak panah de-ngan
himpunan binatang hasil buruan dapat dijelaskan menggunakan gambar diagram
panah.
Pantur Silaban ( 1989, hal 1), mengatakan
bahwa himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas obyek-obyek yang
didefinisikan secara jelas. Sebagai contoh misal ; himpunan penduduk bumi,
himpunan mahasiswa program studi S1-Pendidikan Matematika UT, himpunan sungai-sungai
di kabupaten Banyumas, himpunan peserta haji dari daerah kabupaten Banyumas
tahun 2016.
Cara penulisan (notasi) himpunan menggunakan huruf besar, sedangkan
obyek-obyek tertentu yang menjadi anggota (elemen) himpunan menggunakan huruf
kecil. Sebagai contoh:
1. A = { sungai Serayu, sungai Pelus, sungai Logawa,
sungai Kranji, sungai Sogra, ..., }
2. B = { program studi Matematika-S1, program studi
Statistika-S1, program studi Biologi, program
studi ilmu dan teknologi pangan-S1, program studi agribisnis – S1, ...,
}
3. N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., }.
Berdasar contoh notasi himpunan di atas, dapat disimpulkan bahwa anggota
himpunan tertentu dapat didaftar secara terbatas, atau secara lengkap, dimana
setiap anggota dipisahankan oleh tanda koma dan ditutup dengan tanda kurung
kurawal. Bentuk notasi himpunan seperti tersebut di atas dinamakan notasi
himpunan bentuk pendaftaran atau tabular form.
Terdapat
cara lain untuk penulisan (notasi) himpunan, seperti contoh tersebut di bawah
ini.
1. A = { x I x sungai-sungai di daerah kabupaten
Banyumas }
2. B = { x I x program studi fakultas MIPA-UT }
3. N = { x I x bilangan Asli }.
Berdasarkan contoh notasi himpunan
tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa anggota himpunan tertentu dapat disimbolkan
dengan huruf kecil x yang memiliki sifat-sifat tertentu yang
dimiliki oleh anggota
himpunan tersebut. Bentuk notasi himpunan seprti tersebut di atas, dinamakan
notasi himpunan bentuk pembangun rincian atau set –builder form, dengan garis
vertikal dibaca “ di mana” dan ditutup dengan kurung kurawal.
Untuk mengetahui pengertian himpuan
bilangan Raal, di bawah ini diketengahkan pendapat dari tiga orang pakar
matematika yaitu:
1. Pantur
Silaban ( 1964, hal 3), mengemukakan bahwa himpunan bilangan Asli ( N),
himpunan bilangan Bulat ( Z), himpunan bilangan Rasional (Q), dan himpunan
Bilangan Irasional adalah merupakan anggota himpunan bilangan Real (R).
2. Muchtar G ( 1988, hal 115), mendefinisikan bilngan
Real adalah himpunan semua bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan
desimal.
3. Edwind
J. Purcell ( 1992 : hal 2),
mengatakan bahwa kalkulus didasarkan
pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya.
Berdasar pendapat ketiga pakar matematika
tersebut, dapat disimpulkan bahwa himpunan bilangan real mendasari kalkulus.
B. Rumusan Masalah
Berdasar
penjelasan pada bagian pendahuluan di atas maka disusunlah rumusan masalah
seperti tersebut di bawah ini.
1. Apakah
pengertian Himpunan?
2. Apakah
pengertian Himpunan Bilangan Real?
3. Apakah
pengertian Kalkulus?
C. Pembahasan
I. Pengertian Himpunan
1.
Notasi Himpunan
Pantur Silaban ( 1989, hal 1), mengatakan
bahwa himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas obyek-obyek yang
didefinisikan secara jelas. Sebagai contoh misal ; himpunan penduduk bumi,
himpunan mahasiswa program studi S1-Pendidikan Matematika UT, himpunan
sungai-sungai di kabupaten Banyumas, himpunan peserta haji dari daerah kabupaten
Banyumas tahun 2016.
Cara penulisan (notasi) himpunan
menggunakan huruf besar, sedangkan obyek-obyek tertentu yang menjadi anggota
(elemen) himpunan menggunakan huruf kecil.
Sebagai contoh :
a. A = { sungai Serayu, sungai Pelus, sungai Logawa,
sungai Kranji, sungai Sogra, ..., }
b. B = { program studi
Matematika-S1, program studi Statistika-S1, program studi Biologi, program
studi ilmu dan teknologi
pangan-S1, program studi agribisnis – S1, ..., }
Berdasar contoh notasi himpunan di
atas, dapat disimpulkan bahwa anggota himpunan tertentu dapat didaftar secara
terbatas, atau secara lengkap, dimana setiap anggota dipisahankan oleh tanda
koma dan ditutup dengan tanda kurung kurawal. Bentuk notasi himpunan seperti tersebut
di atas dinamakan notasi himpunan bentuk pendaftaran atau tabular form.
Terdapat cara lain untuk penulisan (notasi) himpunan, seperti contoh
tersebut di bawah ini.
a. A = { x I x sungai-sungai di daerah kabupaten
Banyumas }
b. B = { x I x program studi fakultas MIPA-UT }
c. C = { x I x peserta
haji Indonesia dari daerah kabupaten Banyumas tahun 2016 }.
Berdasarkan contoh notasi himpunan
tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa anggota himpunan tertentu dapat
disimbolkan dengan huruf kecil x yang memiliki sifat-sifat tertentu yang
dimiliki oleh anggota himpunan tersebut. Bentuk notasi himpunan seprti tersebut
di atas, dinamakan notasi himpunan bentuk pembangun rincian atau set –builder
form, dengan garis vertikal dibaca “ di mana” dan ditutup dengan kurung
kurawal.
2.Jenis
Konsep Himpunan
Teori himpunan terdiri dari beberapa jenis konsep antara lain, seperti
tersebut di bawah ini.
a.
Fungsi ( Pemetaan)
Perlu kita ketahui bhwa terdapat tiga hal yang
diperlukan untuk terjadi suatu fungsi, yaitu
1).
Himpunan A
2).
Himpunan B
3).
Suatu kalimat terbuka yang merupakan aturan yang mengaitkan tiap elemen
dari x ε A de-
ngan suatu elemen tunggal y ε B.
Andaikan untuk tiap-tiap elemen dalam
sebuah himpunan A ditetapkan, melalui beberapa macam cara, sebuah elemen
tunggal dari himpunan B. Kita menyebut penetapan demikian adalah sebagai suatu
fungsi. Jika suatu fungsi kita simbolkan dengan huruf f kecil, maka f yang
menyatakan penetapan ini, dinotasikan dengan :
f
: A B
Kita
dapat juga memetakan sebuah fungsi dengan gambar digram Ven, seperti tersebut
dibawah ini.
Gb. 1
Dari penjelasan Gb.1, tentang notasi
dari himpunan A ke dalam B tersebut,
maka himpunan A disebut domain (ranah)
dari fungsi f , dan B disebut codomain atau coranah dari fungsi f. Selanjutnya
, jika a1 ε A maka b1 ε B yang ditetapkan untuk a disebut
bayangan (image) dari a dan dinyatakan oleh f(a 1 ) = b 1
.
f(a 2
) = b 2
f(a 3
) = b 3
Gb.2
Andaikan Negara
Indonesia sebagai elemen Himpunan E pada diagram Ven pada Gmbar 2, maka Jakarta
merupakan nama ibu kota Negara Indonesia
ditetapkan sebagai elemen himpunan F. Selanjutnya nama-nama negara yang
merupakan elemen pada himpunan E, maka nama ibukota negaranya ditetapkan
sebagai elemen pada himpunan F.
Setiap elemen himpunan E disebut
domain (ranah) dari fungsi f , dan setiap elemen yang ditetapkan pada himpunan F
disebut codomain atau coranah dari fungsi f. Selanjutnya , jika nama negara Indonesia
ε E, maka Jakarta merupakan nama ibukota negara Indonesia ditetapkan sebagai ε.
. . .
. . . . . untuk untuk nama negara
disebut bayangan (image) dari nama negara dan dinyatakan oleh f( negara ) =
ibukota.
f( Indonesia )
= Jakarta .
f(Malaysia) = Kualalumpur
f(Thailand ) = Bangkok
f(Jepang ) = Tokyo
II.
Pengertian Himpunan Bilangan
Sebelum membahas
tentang himpunan bilangan, akan kita bahas mulai dari pengertian himpunan bilangan
Asli., himpunan Bilangan Bulat, himpunan Bilangan Rasional, dan himpunan Bilangan
Irasional dan Himpunan Bilangan Real
a.
Himpunan Bilangan Asli
Bilangan asli adalah himpunan bilangan
bulat positif dan nol tidak termasuk. Nama lain dari bilangan ini adalah
bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).
Himpunan bilangan Asli
secara matematetika dinotasikan dengan lambang / simbol sebagai berikut.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., }.
b. Himpunan
Bilangan Bulat
Selanjutnya dengan menambahkan
bilangan negatifnya dan bilangan nol sebagai anggota himpunan, akan terbentuk
himpunan bilangan Bulat. Adapun notasi himpunan bilangan Bulat adalah seperti
tersebut di bawah ini.
Z
= { ..., - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., }.
Jadi bilangan bulat adalah himpunan bilangan
yang terdiri dari himpunan bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.
Muchtar G ( 1992, hal 15), mendefinisikan
operasi sebagai berikut.
Apabila a dan b adalah
bilangan-bilangan bulat, a ≠ 0, maka a dikatakan pembagi dari b, jika dan hanya
jika terdapat suatu bilangan bulat c, demikian sehingga b = a.c.
Sebagi contoh :
5 │ 45 = 9, Ini berarti a = 5, dan b = 45, demikian sehingga terdapat
bilangan bulat c = 9, sehingga
45 = 5 . 9
7 │ 56 = 8, Ini berarti
a = 7, dan b = 56, demikian sehingga
terdapat bilangan bulat c = 8, sehingga
56 =
7 . 8
c.
Himpunan
Bilangan Rasional
Namun jika pembaginya adalah bilangan
bulat yang lebih besar dari bilangan bulat yang dibagi, maka akan mendapatkan
hasil bilangan Rasional ( bilangan Pecahan) atau bilangan Irasional.
Sebagai contoh :
8│4 = 0,5 , Ini berarti
a = 8 = adalah bilangan bulat pembagi ,
dan b = 4 = bilangan bulat yang dibagi ,
Hasil baginya adalah bilangan bukan bilangan bulat = 0,5. Bilangan 0,5
adalah bilangan rasional .
atau 15│ 5 = 0,3333...,
, Ini berarti a = 15 ( bilangan bulat pembagi ), dan b = 5 = bilangan bulat
yang dibagi , Hasil baginya adalah
bilangan = 0,5 ( bilangan rasional ).
Untuk lebih memahami tentang cara
mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal, perhatikan contoh di bawah ini.
Sebagai contoh :
8 │3 = 0,375
3,0
24
60
56
40
40
0
13│ 11,0= 0,846153.......
11,0
104
60
52
80
78
20
13
70
65
50
Berdasar contoh operasi pembagian
bilangan bulat di atas, maka dapat disimpulkan bahwa bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk
desimal. Jadi bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan
rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b,
dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan
himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.
Bilangan rasional ( Muchtar G : 1988,
hal 114), mengatakan bahwa bilangan Rasional dapat dinyatakan dalam bentuk
desimal berhingga atau bentuk desimal berulang tak hingga. Sebagai contoh :
bilngan desimal 0,25 ( desimal berhingga, sedangkan 0,2500000.... ( bilngan
desimal berulang tak hingga dimana angka yang berulang adalah 0.
Bilangan desimal bentuk
0,25 dapat dijadikan bentuk :
0,25000000....atau
0,2499999... , kedua bentuk berulang tak hingga tersebut adalah menyatakan bilangan
yang sama yaitu 0,25 atau ¼.
Bukutikan bahwa bilangan desimal
0,25000000. . . dan 0,24999999 adalah
bilangan 0,25 atau ¼.
Diketahui :
|
||||||||
Bilangan desimal : 0,25000000
|
dan 0,2499999
|
|||||||
Buktikan : bilangan desimal 0,250000 dan 0,2499999
|
||||||||
adalah menyatakan bilangan desimal berulang tak hingga yang sama.
|
||||||||
Bukti :
|
||||||||
Misal x = 0,249 maka :
|
||||||||
1000 x = 249,999
|
||||||||
100x = 24,999
|
||||||||
900 x = 225,000000
|
||||||||
x = 225/900
|
||||||||
x = 1/4
|
||||||||
Jadi bilangan desimal 0,250000... Dan 0,2499999... Adalah menyatakan
|
||||||||
bilangan rasional yang sama = 1/4
|
||||||||
Berdasar uraian di atas dapat
disimpulkan bahwa bilangan rasional adalah bilangan pecahan biasa atau bilangan
desimal berhingga atau berulang tak hingga.
d. Himpunan Bilangan Irrasional
Bilangan Irasional adalah
bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal tak hingga .
Contoh : π = 3,1415926535.... dan
√2 = 1,414213562.....)
Dari contoh tersebut di atas dapat
disimpulkan bahwa bilangan Irasional adalah bilangan desimal tak hingga tak
berulang.
e.
Himpunan
Bilangan Real
Untuk lebih memahami pengertian himpunan
bilangan Real, di bawah ini akan dikemukakan pengertian dari dua pakar
matematika dari :
1. Pantur
Silaban ( 1964, hal 3), mengemukakan bahwa bilangan Asli ( N), bilangan Bulat (
Z), bilangan Rasional (Q), dan Bilangan Irasional adalah merupakan anggota
himpunan bilangan Real.
2. Muchtar G ( 1988, hal 115), mendefinisikan bilngan
Real adalah himpunan semua bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan
desimal.
Dari pembahasan pengertian
bilangan real di atas dapat disimpulkan bahwa bilangan Real adalah
himpunan, bilangan Rasional dan bilangan
Irasional, bilangan Asli ( Natural ), bilangan Bulat positip dan
negatifnya serta bilangan nol.
III.
Pengertian Kalkulus
Edwind J. Purcell ( 1992 : hal ix ), mengatakan bahwa kalkulus adalah cabang
matematika yang mempelajari tentang :
1.
Konsep Fungsi; 2. Konsep Limit; 3. Konsep Kekontinuan; 3. Konsep Derivatif /
Diferensial / Turunan; 4.Konsep Integral
/ Anti Turunan; 5. Konsep Deret ( Deret
Hitung, Deret Geometri, Barisan ); 6. Dan yang lainnya.
1.
Pengertian Konsep Fungsi
a. Pengertian Fungsi/ Pemetaan
Berdasar
tujuh konsep kalkulus tersebut, maka konsep butir satu yaitu konsep fungsi akan
menjadi fokus pembahasan dalam makalah ini. Terdapat tiga hal yang diperlukan untuk
memahami konsep fungsi yaitu :
a. Himpunan A
b. Himpunan B
c. Suatu kalimat terbuka yang merupakan aturan yang
mengaitkan tiap elemen dari x ε A de-
ngan suatu
elemen tunggal y ε B.
Setiap elemen yang ditetapkan oleh
suatu himpunan A ke sebuah elemen tunggal pada himpunan B melalui beberapa
macam cara. Kita menyebut penetapan demikian adalah sebagai suatu pemetaan atau
fungsi. Namun jika setiap elemen suatu himpunan A ditetapkan pada lebih dari
satu elemen himpunan B, maka penetapan yang demikian bukanlah merupakan suatu
fungsi. Untuk lebih memahami fungsi atau bukan fungsi, perhatikan gambar di
bawah ini.
Kesimpulan dari penjelasan gambar di atas adalah
sebagai berikut:
Fungsi/pemetaan
adalah sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap
anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
a. Himpunan
A = { a, b, c }, disebut domain ( daerah asal ) fungsi.
b. Himpunan
B = { x,y, z }, disebut daerah kawan ( kodomain ) fungsi.
c. Himpunan
B, yang dipasangkan dengan setiap anggota A disebut range ( daerah hasil
fungsi).
d. Himpunan
B yangmerupakan daerah hasil fungsi (range) membentuk himpunan pasangan
terurut.
b. Pasangan terurut
Berdasar
gambar pada diagram Ven di atas, maka dapat disusun himpunan pasangan
terurut, seperti tersebut di bawah ini.
Contoh
1.
Domain fungsi A = {a, b, c}, Range
fungsi B = {x, y, z }
Himpunan pasangan terurut fungsi :
A B, adalah P = {(a,
x), (b, y), (c, z) }
Contoh 2.
Domain
fungsi A = {a, b, c}, Range fungsi B = {x, y }
Himpunan semua pasangan terurut fungsi :
A B, adalah Q = {(a,
x), (b, y), (c, x) }
Selanjutnya
perlu dijelaskan juga pengertian fungsi/pemetaan menggunakan pendekatan diagram
Cartesius. Untuk lebih menambah wawasan tentang fungsi, di bawah ini akan
dikupas tentang jenis fungsi antara lain :
c.
Jenis Fungsi
1).
Fungsi Linear
Agar
lebih memahami tentang konsep fungsi, perlu dibahas cara menggmbar fungsi
melalui diagram Cartesius.
Contoh : Gambarlah
grafik fungsi : 2x – 3y = 12 menggunakan
diagram Cartesius.
Dengan domaiin A = {
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }
Penyelesaian:
Langkah-langkah
menggmar grafik fungsi menggunakan digram Cartesius, yaitu :
1. Menyiapkan tabel himpunan pasangan terurut
2. Mencari solusi/
himpunan penyelesaian pasangan terurut dengan mensubtusikan
nilai x elemen himpunan domain fungsi ke
persamaan yang diketahui.
2x – 3y =
12
x
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
y=f(x)
|
-6,6
|
-6
|
-5,3
|
-4,6
|
-4
|
-3,3
|
-2,6
|
-2
|
-1,3
|
Tabel tersebut di atas, dicari
penyelesainya dengan cara mensubtusikan nilai x elemen himpunan domain , A = { -4, -3, -2, -1,
0, 1, 2, 3, 4 ke dalam persamaan :
2x – 3y =
12
Untuk x=-4 , maka 2x – 3y = 12
2(-4) – 3y
= 12
-8 – 3y =
12
-3y =
20
y= -6,6
Untuk x = -3, maka
2(-3) – 3y = 12
-6
– 3y = 12
-3y = 18
y= -6
Untuk x = -2, maka
2(-2) – 3y = 12
-4
– 3y = 12
-3y = 16
y= -5,3
Untuk x = -1, maka
2(-1) – 3y = 12
-2
– 3y = 12
-3y = 14
y= -4,6
Untuk x = 0, maka 2(0) – 3y = 12
0 – 3y
= 12
-3y = 12
y= -4
Untuk x = 1, maka
2(1) – 3y = 12
2 – 3y = 12
-3y = 10
y= 3,3
Untuk x = 2, maka
2(2) – 3y = 12
4 –
3y = 12
-3y
= 8
y= 2,6
Untuk x = 3, maka
2(3) – 3y = 12
6 –
3y = 12
-3y = 6
y= -2
Untuk x = 4, maka
2(4) – 3y = 12
8 –
3y = 12
-3y = 4
y= -1,3
Untuk y
= 0, maka 2x – 3y = 12
2x – 3.0 =
12
x= 6 =>
(x,y) = (6, 0)
Berdasar gambar
tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa hasil pemetaan/ fungsi linear : 2x –
3y = 12, pada diagram Cartesius menghasilkan range berbentuk garis lurus.
Untuk mencari himpunan penyelesain fungsi kuadrat maka nilai y = 0, sehingga
ax2 + bx + c = 0
a {x2) + (b/a)x } + c/a =0
{ x2 + 2.(b/2a).x +( b/2a)2
–(b/2a)2} = - c/a
{ x2
+ 2.(b/2a).x +( b/2a)2 = (b2/4a2) - c/a
(x + b/2a)2 = (b2/4a2)
– (4ac)/4a2)
( x + b/2a)2 = (b2/4a2)
– (4ac/4a2)
(x +b/2a)2= {( b2 –
4ac)/4a2}
(x +b/2a)=√ {( b2 – 4ac)}/(2a)
(x
+b/2a)= √ D/(2a),dimana D = b2
– 4ac ( D = simbol Diskriminan).
x = -b/2a ± √ D/(2a),
x ={( -b ± √ D)}/(2a)
Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi :
a). Jika D ˃ 0, , misal √ D = p, sehingga HP ( Himpunan Penyelesaian) nya adalah :
x =( -b + p )/ 2a atau (–b – p)/2a ; HP nya merupakan dua bilangan real berlainan.
b). Jika D = 0, maka
x =( -b + 0 )/ 2a atau x
= (–b – 0)/2a, HP
nya
adalah x = -b. Jadi HP nya merupakan bilangan real kembar.
c). Jika D < 0 .
maka HP nya bukan bilangan real , tetapi merupakan bilangan imajiner.
Selain kemungkinan-kemunginan
tersebut di atas, fungsi kuadrat membentuk grafik parabola, dengan ketentuan sebagai
berikut :
d). a ˃ 0
dan D ˃ 0,
maka parabola terbuka ke atas dan
memotong sumbu x
e). a
˃ 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke atas dan
menyinggung sumbu x
f). a ˃ 0 dan D < 0, maka parabola
terbuka ke atas dan di atas sumbu x
g). a < 0
dan D ˃ 0,
maka parabola terbuka ke bawah dan
memotong sumbu x
h). a < 0
dan D = 0,
maka parabola terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu x
i). a < 0
dan D < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan di bawah sumbu x
j).
Sumbu simetri jika x = -b/ 2a
k).
Titik balik jika P (-b/ 2a, D/-4a)
Untuk lebih memahami grafik fungsi kuadrat perhatikan gambar di bawah
ini.
Contoh :
Carilah HP fungsi kuadrat : f(x) = y = x2 + 6x + 5 , dengan
domen fungsi A = { -4, -3, -2, -1, 0 }.
Gambarlah range funsi kuadrat tersebut.
Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0
x2
+ 6x + 5 = 0
( x + 5 ) ( x + 1 ) = 0
X1= -5
x2 = -1
D = b2-4ac
= 36 – 4(
1). (5)
= 36 – 20
= 16
Jadi D ˃ 0
Sumbu simetri x = -b/ 2a
X = -6/2.1 = -3
Y = D/-4a
Y = 16/ -4 ( 1)
Y = -4
Titik balik P(-3,-4).
Untuk mencari range fungsi : f(x) = y = x2
+ 6x + 5 , substitusikan elemen domen fungsi ke
persamaan x2 + 6x +
5 = 0
Untuk x=-4 , maka y = x2 +
6x + 5
y= 16 -24
+5
y = 21 -24
y = -3
P(-4, -3)
Untuk x=-3 , maka y = x2 +
6x + 5
y= 9 -18 +5
y = 14 - 18
y = -4
Q( -3,-4)
Untuk x=-2 , maka y = x2 +
6x + 5
y= 4 -12 +5
y = 9 -12
y = -3
R( -2, -3)
Untuk x=-1 , maka y = x2 +
6x + 5
y= 1 -6 +5
y = 0
S(-1, 0)
Untuk x=0 , maka y = 0 + 0 + 5
y= 5
T(0,5)
Range fungsi : f (x) = y = x2 +
6x + 5, ditunjukkan pada gambar tersebut di bawah ini.
Berdasar
pada gambar di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
1.
Himpunan Penyelesaian fungsi kuadrat : f(x) = y = x2 + 6x + 5,
bentuk parabola cekung ( terbuka ke atas) karena nilai a ˃ 0 yaitu a = 1
2. Himpunan penyelesaian fungsi (x)= x2
+ 6x + 5, untuk y = 0, adalah dua
bilangan real yang berlainnan, yaitu X1 = -5 atau
x = -1
3. Himpunan penyelesaian fungsi, adalah
grafiknya memotong sumbu x di dua tempat yang berlainan , karena D ˃ 0, yaitu D = 16
D.
Kesimpulan
Dari
pembahasan di atas, dapat disimpulkan
seperti tersebut di bawah ini.
1. Himpunan penyelesaian fungsi linear melalui diagram Cartesius
menghasilkan range fungsi berupa garis lurus.
2.
Himpunan Penyelesaian fungsi kuadrat : f(x) = y = x2 + 6x + 5,
bentuk parabola cekung ( terbuka ke atas) karena nilai a ˃ 0 yaitu a = 1
3. Himpunan penyelesaian fungsi (x)= x2
+ 6x + 5, untuk y = 0, adalah
dua bilangan real yang berlainnan, yaitu X1 = -5 atau
x = -1
4. Himpunan penyelesaian fungsi, adalah
grafiknya memotong sumbu x di dua tempat yang berlainan , karena D ˃ 0, yaitu D = 16
E.
Kepustakaan
Budhi Prayitno, 1996. Matematika. Jakrta :
Penerbit Erlangga.
Edwind J. Purcell , 1992. Kalkulus dan Geometri
Analitis. Jakarta: Penerbit Erlangga
Gatot Muhsetyo ,
2003. Dasar dasar Teori Bilangan. Malang: Badan Penerbit
FP MIPA Universitas Negeri Malang
Muchtar G, 1992.
Pengantar
Teori Bilangan. Padang : Badan Penerbit FP MIPA IKIP Negeri Padang.
Muchtar G, 1988. Ilmu Bilangan. Padang : Badan Penerbit FP
MIPA IKIP Negeri Padang.
Pantur Silaban, 1992. Teori Himpunan. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
Sartono Wirodikomo, 1995. Matematika. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
