Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat Melalui Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik

Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melalui  Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik

Saryanto – UPBJJ UT Purwokerto

                                                                  05 Maret  2018

A.  Pendahuluan

          Sesuatu yang perlu dipertimbangkan ketika seorang guru akan mengajarkan konsep tertentu kepada siswa di ruang kelas, misal mengajarkan tentang konsep : “ Fungsi Kuadrat”, maka guru harus mampu memilih metode mengajar dan menerapkan strategi / pendekatan  mengajar yang tepat, sesuai  dengan tingkat kemampuan berpikir siswa.

          Thomas L Schroeder dan Frank Lester. Jr ( 1994: hal 138), mengatakan bahwa mengajar dengan metode pemecahan masalah / Problem solving, dibedakan atas tiga macam strategi / pendekatan, yaitu :
1. Pendekatan mengajar tentang pemecahan masalah
2. Pendekatan mengajar untuk Pemecahan Masalah
3. Pendekatan mengajar melalui Pemecahan masalah

          Dari penjelasan bahwa metode mengajar pemecahan masalah di atas, bahwa terdapat tiga macam strategi pemecahan masalah, maka fokus pembahasan pada makalah ini adalah butir ke-3, yaitu : “ Strategi / pendekatan mengajar melalui pemecahan masalah”.

          Selanjutnya Thomas L Schroeder dan Frank Lester. Jr, mengatakan bahwa untuk mambantu siswa mempelajari konsep-konsep matematika dengan strategi / pendekatan pemecahan masalah, maka guru menggunakan model pembelajaran, yaitu:
 1. Mencari Pola-pola
 2. Menggunakan sebuah model
 3. Menggunakan sebuah gambar atau diagram
 4. Memerankan
 5. Membuat sebuah tabel/ grafik
 6. Menduga dan mengujinya
 7. Menginventarisasi semua kemungkinan yang ada
 8. Memisahkan menjadi bagian-bagian/ menyederhanakan
 9. Menghitung mundur/ memeriksa kembali
 10. Mengubah cara pandang

          Dari sepuluh macam strategi / pendekatan pemecahan masalah tersebut di atas, maka makalah ini dibatasi pada strategi / pendekatan pemecahan masalah butir lima yaitu strategi / pendekatan mengajar pemecahan masalah membuat tabel atau grafik. Seheingga makalah ini diberi judul : “ Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melalui  Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik”  

B.  Rumusan Masalah

          Berdasar pada judul makalah tersebut di atas, maka rumusan masalah adalah sebagai berikut.

1.   Apakah Hakekat Kegiatan Belajar Mengajar ( KBM)?

2.   Apa yang dimaksud Fungsi Kuadrat?       

3.   Bagaimana langkah-langkah Mengajarkan Konsep Fungsi Kuadrat Menggunakan Model Membuat Grafik?

C.  Pembahasan Masalah

I.    Hakekat Kegiatan Belajar Mengajar ( KBM)

              Jika kita perhatikan kegiatan belajar mengajar ( KBM) matematika yang dilaksanakan di ruang kelas, pada hakekatnya terdiri dari dua kegiatan, yaitu :

1.   Kegiatan mengajar ( berpusat pada guru)

2.   Kegiatan pembelajaran ( berpusat pada siswa)

1.   Kegiatan Mengajar

           Sebelum guru tampil di ruang kelas untuk mengajarkan pokok bahasan tertentu yang akan disampaikan pada siswa, maka guru diwajibkan menyusun rencana pengajaran yang akan dipakai sebagai pedoman guru dalam mengajar. Terdapat beberapa model rencana pengajaran yang dapat digunakan guru sebagai acuan mengajar, satu diantaranya adalah rencana pengajaran model PPSI ( Progam Pengajaran Sistem Instruksional). Adapun kerangka dari model PPSI adalah : 1.Tujuan,  2. Materi/ Isi bahan pelajaran, 3.Metode, 4.  Alokasi Waktu, dan  5. Eva-luasi. 
a.Tujuan
          Mengajar  adalah kegiatan guru yang berorientasi pada tujuan, terarah pada tujuan, dan bertujuan  untuk mencapai  hasil belajar. Mengajar berorientasi pada tujuan dalam arti bahwa  dalam rangka guru melakukan kegiatan belajar mengajar , maka guru berpedoman pada tujuan instruksional umum ( TIU) yang telah ditentukan oleh Garis-garis Besar  Pro-gram Pengajaran ( GBPP) dalam melaksanakan kegiatan belajar mengajar. Terarah pada tujuan , dalam arti bahwa akan terjadi perubahan perilaku pada siswa melalui kegiatan belajar mengajar tersebut. Sedangkan mengajar untuk  mencapai hasil  belajar (siswa memiliki kompetensi )  akan tercapai melalui kegiatan belajar mengajar.
          Dengan demikian, ketika guru akan mengajar, maka guru tersebut menetapkan sasaran yang hendak dicapai ( TIU= Tujuan Instruksional Umum) dan (TIK= Tujuan Instruksional Khusus). Untuk mencapai tepat sasaran, guru merencanakan atau merumuskan tujuan instruksional ( TIU) yang diharapkan tercapai ( TIK) melalui kegiatan belajar mengajar, sehingga hasil belajar yang dikuasai siswa optimal.
b. Materi/ Isi bahan pelajaran
          Setelah guru menetapkan tujuan instruksional, maka langkah selanjutnya guru memilih materi / isi bahan pelajaran (misal : “Mengambar grafik fungsi kuadrat”), yang akan diajarkan pada siswa. Hasil belajar  yang diperoleh siswa merupakan  materi pelajaran yang yang diajarkan oleh guru sesuai dengan rumusan tujauan instruksional yang telah dibuat. 
c.Metode Mengajar
          Setelah guru menentukan tujuan instruksioal dan memilih materi pelajaran  yang akan diberikan kepada siswa, maka guru perlu menentukan metode mengajar yang tepat, sehingga hasil belajar siswa sesuai dengan tujuan  instrusional dan materi yang diajarkan. 
d. Alokasi Waktu
          Setelah guru merumuskan tujuan instruksional, menyiapkan materi pelajaran den memilih metode mengajar yang akan digunakan, maka langkah berikutnya adalah guru merinci  alokasi waktu  yang diperlukan untuk melaksanakan kegiatan belajar mengajar. Berapa menit  waktu yang  diperlukan oleh guru untuk melaksanakan kegiatan belajar mengajar  (kegiatan awal / apersepsi, kegiatan inti, dan kegiatan akhir/ evaluasi) .  
e. Evaluasi.
          Tujuan instruksional khusus, materi  pelajaran dan evaluasi merupakan tritunggal  dalam kegiatan belajar mengajar.  Dalam arti bahwa evaluasi merupakan alat ukur keberhasilan siswa dalam menguasai materi pelajaran sesuai dengan tujuan instruksional  yang dirumuskan oleh guru pada rencana pengajaran.

2. Kegiatan Pembelajaran

          Guru merupakan fasilitator dalam pembelajaran matematika di ruang kelas. Setiap materi atau konsep tertentu yang dipelajari siswa di ruang kelas, akan direspon siswa melalui panca indra. Perlu anda ketahui bahwa panca indera terdiri dari lima macam yaitu :

a. Indera penglihatan ( mata), terlihat indah, terlihat bersih, dll

b. Indera pendengaran ( telinga ) : terdengar suara merdu, terdengar suara blero, dll

c. Indera peraba (kulit) : diraba  halus, kasar, licin dll.

d. Indera Pembau (hidung), bau harum, bau pesing, bau amis, bau penguk dll

e. Indera Perasa (idah), rasa manis, rasa pahit, rasa gurih dll.

          Informasi atau data tentang konsep tertentu yang diterima panca indera, selanjutnya panca indera mentransver konsep tersebut ke otak. Setiap konsep yang masuk ke otak akan diproses secara asimilasi, jika informasi yang masuk sesuai dengan data yang telah tersimpan di otak. Di dalam otak konsep yang sudah diproses secara asimilasi selanjutnya disimpan oleh jaringan informasi dalam otak yang disebut Schemata. Jika ternyata data yang masuk ke otak merupakan data baru, maka akan diproses oleh otak sesara akomodasi. Konsep yang telah diproses sacara akomodasi, selanjutnya akan disimpan oleh jaringan informasi (Schemata) melalui inovasi ( pembaharuan ) schemata.

          Pembelajaran adalah perubahan perilaku seseorang sebagai akibat pengalaman atau informasi baru yang disimpan pada schemata. Potensi (kemampuan) seseorang tergantung seberapa banyak informasi atau data yang tersimpan pada schemata. .Potensi kemampuan seseorang menerima informasi baru berbeda antara seseorang dengan orang / siswa lainnya.

          Sebagai ilustrasi tentang perbedaan potensi kemampuan seseorang menerima informasi baru, kita ambil sebagai contoh adalah membandingkan potensi kemampuan manusia dengan potensi kemampuan kuda dalam hal kecepatan lari.. Manusia tidak mungkin dapat mengalahkan kecepatan lari terhadap kuda, karena unsur fisik kuda berbeda dengan unsur fisik manusia.           

           Bloom mengatakan bahwa unsur-unsur psikhis manusia terdiri dari :

(1). Unsur Cognitif ( berpikir) ,  (2). Unsur Afektif ( sikap) , dan (3). Unsur psikhomotor ( keterampilan)

          Dengan berbekal pada satu dari tiga unsur psikhis manusia yaitu unsur cognitif ( berfikir ), manusia  dapat memanfaatkan kuda sebagai alat (menunggang) kuda, sehingga dengan menunggang kuda manusia dapat lari secepat kuda.     

          Berdasar pada pemnjelasan potensi kemampuan manusia, maka proses pembelajaran akan berlangsung efektif, jika guru dapat menggali potensi kemampuan siswa. Pemanfaatkatan potensi kemampuan siswa dalam pembelajaran, ini berarti pembelajaran pemecahan masalah dengan strategi cara belajar siswa aktiv ( CBSA). Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melalui  Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik”, juga merupakan pembelajaran strategi CBSA tinggi.    

          Berdasar pada pembahasan kegatan pembelajan di atas, maka di bawah ini akan dikupas dengan urutan seperti tersebut di bawah ini, yaitu :

1.   Pengertian Fungsi Kuadrat         

      

          

  Gb.1

Pada gambar diagram panah (1) tersebut di atas, bahwa menunjukkan bahwa setiap elemen himpunan A dipasangkan (relasi) tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B, maka pemasangan elemen himpunan A dengan elemen himpunan B tersebut dinamakan fungsi atau pemetaan...

          Pada gambar panah (2) tersebut di atas, bahwa terdapat relasi setiap elemen himpunan A dipasangkan dengan lebih dari satu elemen himpunan B. Relasi yang ditunjukkan pada gambar (2) adalah bukan merupakan fungsi.

          Pada gambar diagram panah (3) yang memiliki ciri-ciri setiap elemen himpunan A dipasangkan dengan elemen himpunan B tepat satu elemen himpunan B. Relasi pada diagram panah gambar (3 disebut fungsi atau pemetaan.

          Pada gambar diagram panah (4) memiliki ciri setiap elemen himpunan A dipasangkan ( relasi) dengan tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B disebut fungsi atau pemetaan.

          Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi, dilambangkan dengan :f: A-->B.

          Perlu anda ketahui bahwa relasi ( hubungan) atau pemasangan selain dapat ditunjukkan dengen diagram anak panah, dapat juga ditunjukkan menggunakan diagram Cartesius..

          Sebuah fungsi  f  yang dinyatakan dengan rumus :f(x) = ax²  +  bx + c  dengan a, b, c bilangan real R dan a ≠ 0 dinamakan sebagai fungsi kuadrat. Aturan fungsi kuadrat ini jika dinyatakan dalam bentuk lain adalah sebagai berikut:

f(x) = ax²  +  bx + c 

f(x) = a ( x²  +  b/a.x ) + c

      = a ( x²  +  b/a.x + b²/4a² - b²/4a²  ) + c

      = a ( x²  +  b/a.x + b²/4a² ) – (ab²/4a² )  + c

      = a ( x  +   b/2a )² – (b²/4a) + c

     = a ( x  +   b/2a )² – {b²/4a) + c.( 4a/4a )}

     = a ( x  +   b/2a )² – {(b²/4a) + (4ac//4a}}

      = a ( x  +   b/2a )² – (b² – 4ac) / 4a ; dengan D = b² – 4ac

      = a ( x  +   b/2a )² –  D/4a

      Dari pembehasan di atas, tampak bahwa fungsi f akan memncapai nilai optimum jika :

      x + (b/2a) = 0 atau x = - (b/2a). Oleh sebab itu fungsi f mencapai nilai balik – D/4a  untuk x = - b/2a, Titik balik maksimum jika  a < 0 dan titik balik minimum jika a > 0. Dengan demikian titik balik ( puncak ) grafik fungsi f adalah ( - b/2a, - D/4a)dan garis sumbu simetri melalui titik balik yaitu melalui x = -b/2a.

2.   Langkah-langkah Membuat Grafik Fungsi Kuadrat

          Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

1). Menentukan beberapa titik anggota fungsi f dengan cara memilih beberapa nilai x elemen bilangan bulat pada daerah asal fungsi (codomen), selanjutnya hitunglah nilai fungsi f ( range fungsi atau daerah hasil fungsi, menggunakan daftar ( tabel).

2). Gambarkan koordinat titik-titik yang telah diperoleh pada langkah satu, pada sebuah bidang koordinat atau bidang bidang Cartesius.

3). Hubungkan titi-titik yang telah digambarkan pada bidang Cartesius pada langkah 2,    

      sehingga terbentuklah kurva parabola.

Contoh 1 : Gambarlah grafik fungsi : y = x² – 4x + 4 , jika daerah asalnya adalah :

D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 4 }

Jawab:

Langkah 1 :

         Menentukan titik-titik ( Codomen) untuk disubstitusikan ke fungsi y = x² – 4x + 4

Menggunakan tabel.:

Titik	A	B	C	D	E
x	0	1	2	3	4
y	4	1	0	1	4

Langkah 2,          

Gambarkan koordinat ( absis dan ordinat), yaitu : A(0,4) ; B(1,1), C(2,0), D(3,1), E(4,4), pada bidang Cartesius

Langkah 3: Hubungkan titik absis dan ordinat ( koordinat) masing-masing titik tersebut.

       

                                   Gambar 1. Grafik Fungsi Kudrat

               Berdasar pada gambar 1, Grafik fungsi kuadrat di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut:

1.   Daerah asal fungsi f adalah D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 4, x ɛ R }

2.   Daerah hasil fungsi f adalah { y  │ 0 ≤ y ≤  4 , y ɛ R }

3.   Pembuat nol fungsi adalah  x = 2, sebab jika disubtitusikan ke fungsi maka:

                                             y = x² – 4x + 4

                                             Y = 2² – 4 (2) + 4

                                              Y = 8 – 8

                                              Y = 0

4.   Sumbu simetri  adalah x = - b/ 2a

                                     x =  - (-4) / 2

                                      x = 4/2

                                      x = 2

5.   Titik balik kurva parabola adalah x = - b / 2a , jadi x = 2

6.   Kurva parabola terbuka ke atas sebab a > 0 yaitu a = 1

Contoh 2 : Gambarlah grafik fungsi : y = -x² + 5x -4  , jika Codomennya,  D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 5}

Jawab :

1.    Menentukan titik-titik ( Codomen) untuk disubstitusikan ke fungsi y = - x² + 5x – 4,

Menggunakan tabel.:

Titik	A	B	C	D	E	F
x	0	1	2	3	4	5
Y	- 4	0	2	2	0	-4

Langkah 2,         

Gambarkan koordinat ( absis dan ordinat), yaitu : A(0,-4) ; B(1,0), C(2,2), D(3,2), E(4,0), dan F( 5,-4). pada bidang Cartesius

Langkah 3 : Hubungkan titik-titik koordinat maing-masing-masing titik tersebut.

         Gambar.2 : Grafik fungsi kuadrat.

          Berdasar pada gambar 2, Grafik fungsi kuadrat di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut:

1.   Daerah asal fungsi f adalah D = { x │ 0 ≤ x  ≤ 5, x ɛ R }

2.   Daerah hasil fungsi f adalah { y  │ -4 ≤ y ≤  2,5 , y ɛ R }

3.   Pembuat nol fungsi adalah  x = 1 dan 4, sebab jika disubtitusikan ke fungsi maka:

                                             y = - x² + 5x – 4

                                              Untuk x = 1 maka y =  - (1)² + 5(1) -4 = 0

                                              Untuk x = 4 maka y = -(4)² + 5(4) – 4 = 0

4.   Sumbu simetri  adalah x = - b/ 2a, maka  x =  -5/2.(-1)  = -5/-2 = 2,5

5.   Titik balik kurva parabola adalah x = - b / 2a , jadi x =  -5/2.(-1)  = -5/-2 = 2,5

                                                                                x = 2,5

6.   Kurva parabola terbuka ke bawah,  sebab a <0 yaitu a = -1

D.   Kesimpulan

          Berdasar pada pembahasan di atas maka Pembelajaran Konsep Fungsi Kuadrat  Melaui Strategi Pemecahan Masalah Model Membuat Grafik”, juga merupakan model  pembelajaran yang dilakukan dengan cara menggali potensi kemampuan yang dimiliki siswa.

E.    Sumber Pustaka

Albert B. Bennet, Jr, 2004. Mathematics For Elementtary Teaches A Conceptual Approach.   

                 New York : Higher Education.

Herman Hudoyo, 1988. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Dirjen Dikti, LPTK.

Kennedy Leonard M, 1994. Guding Children’s Learning of Mathematics. California : Steve

                 Tipps. 

Simangunsong, 1987.Materi Metode dan Penilaian. Jakarta: Penerbit Akademika Pressindo.

Soelaeman M.I, 1988. Suatu Telaah Tentang Manusia –Religi- Pendidikan. Jakarta:

                       Dirjen Dikti, PPLPTK.

Suhendra , dkk, 2008. Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika.Jakarta :

                 Penerbit Universitas Terbuka.

Tinjauan Solusi Persamaan Linear Menggunakan Kongruensi

Saryanto – UPBJJ UT Purwokerto

15 Januari 2018

I.      Pendahuluan

          Dalam permukaan jam terdapat lambang bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 12. Jika waktu yang ditunjukkan pada permukaan jam adalah tepat pukul 05.00 sore , maka pengertian yang sama dengan pukul tersebut adalah pukul 17.00.  Jika yang ditunjukkan pada permukaan jam adalah tepat pukul 06.00 sore, 07.00 sore, 08.00 sore dan 09.00 sore, maka pengertian yang sama adalah pukul 18.00, 19.00, 20.00, 21.00. 

          Untuk masing-masing waktu yang disebutkan di atas, kami kelompokan menjadi elemen-elemen dua himpunan A dan B, seperti tersebut di bawah ini.

A = { pukul 17.00 WIB, 18.00 WIB, 19.00 WIB, 20.00 WIB, 21.00 WIB}.

B = {pukul  05.00 sore, 06.00 sore, 07.00 sore, 08.00 sore, 09.00 sore }  

          Antara elemen himpunan A dengan elemen himpunan B terdapat suatu hubungan atau relasi pengertian yang sama. Pukul 17.00 WIB mempunyai pengertian yang sama dengan pukul 05.00 sore, pukul 18.00 WIB mempunyai pengertian yang sama dengan pukul 06.00 sore, pukul 19.00 WIB mem-punyai pengertian yang sama dengan pukul 07.00 sore, pukul 20.00 WIB mempunyai pengertian yang sama dengan pukul 08.00 sore, dan pukul 21.00 WIB, mempunyai pengertian yang sama de-ngan pukul 09.00 sore.

          Selanjutnya pengertian waktu yang sama antara elemen-elemen himpunan A yang dipasangkan dengan elemen-elemen himpunan  B, dinamakan relasi. Secara matematika relasi antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B, dapat ditunjukkan menggunakan : 1. Gambar diagram panah, 2. Gambar diagram Cartecius, dan 3. Pasangan berurutan.  

          Relasi elemen himpunan A yaitu pukul 17.00 WIB dengan elemen himpunan B yaitu pukul 05.00 sore, secara matematika dapat juga dinotasikan sebagai : “ 17y = 12x + 5”. Kalimat matematika 17y = 12x +5, dikatakan sebagai : “ Persamaan liear dengan dua variabel x dan y “, dan secara umum ditulis : “ ax + by + c = o”.

          Persamaan linear dua variabel x dan y, sebagai fokus makalah ini, dengan judul : “  Tinjauan Solusi Persamaan Linear Menggunakan Kongruensi “.

                                                                                                                                                      

II.    Rumusan Masalah

          Berdasar pada judul makalah di atas, maka disusunlah rumusan masalah seperti tersebut di bawah ini.

A. Apa yang dimaksud dengan relasi dua himpunan?

B. Apakakah kaitan  Relasi dengan Kongruensi?

C. Bagaimana Solusi Permaan Linear Menggunakan Kongruensi ?

III. Pembahasan

A.   Pengertian Relasi Dua Himpunan 

1.    Relasi Menggunakan Gambar Diagram Panah

          Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari elemen-elemen himpunan A ke elemen-elemen himpunan B. Jadi Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan elemen himpunan ke himpunan lain.        

          Untuk lebih memahami pengertian relasi, perhatikan contoh relasi yang ditunjukan oleh gambar diagram panah tersebut di bawah ini.  

      

Gb. 1

          Pada gambar diagram panah (1) tersebut di atas, bahwa setiap elemen himpunan A dipasangkan (relasi) tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B, disebut fungsi atau pemetaan.                                                                                                                              

          Pada gambar panah (2) tersebut di atas, bahwa terdapat relasi setiap elemen himpunan A dipasangkan dengan lebih dari satu elemen himpunan B. Relasi yang ditunjukkan pada gambar (2) adalah bukan merupakan fungsi.

          Pada gambar diagram panah (3) yang memiliki ciri-ciri setiap elemen himpunan A dipasangkan dengan elemen himpunan B tepat satu elemen himpunan B. Relasi pada diagram panah gambar (3 disebut fungsi atau pemetaan.

          Pada gambar diagram panah (4) memiliki ciri setiap elemen himpunan A dipasangkan ( relasi) dengan tepat satu dan hanya satu elemen himpunan B disebut fungsi atau pemetaan.

          Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi, dilambangkan dengan :f: A-->B.

          Perlu anda ketahui bahwa relasi ( hubungan) atau pemasangan selain dapat ditunjukkan dengen diagram anak panah, dapat juga ditunjukkan menggunakan diagram Cartesius.

1.    Relasi Menggunakan Gambar Diagram Cartesius

          Relasi yang terjadi antara elemen himpunan A = { Kereta Api, Bus, Sepeda, Kapal, Pesawat } dan B = { Darat, Laut, Udara}. Antara elemen-elemen himpunan A dan B terdapat relasi “ jenis perhubungan “  Relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram Cartisius.

Contoh:  Dengan Diagram Cartesius

                                                                     Gb. 2

          Berdasarkan pada diagram Cartesius diatas, maka terdapat relasi lalu lintas perhubungan  seperti tersebut di bawah ini.

Kereta Api R Darat

Bus R Darat

Speda R Darat

Kapal R Laut

Pesawat R Udara

1.    Relasi Menggunakan Himpunan Pasangan Berurutan         

          Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya, A = { pukul 17, pukul 18, pukul 19, pukul 20, pukul 21} dan B = {pukul 5 Sore ,pukul 6,pukul sore, pukul 7 sore ,pukul 8 sore, pukul 9 sore}. Antara anggota himpunan A dan B terdapat relasi “pengertian waktu yang sama”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan gambar diagram panah, seperti tersebut di bawah ini. λ

                     A                               B                                                          

17 WIB   ------------     pukul 5 sore                   18 WIB    -----------     pukul 6 sore                   19 WIB    -----------     pukul 7 sore                   20 WIB    -----------      pukul 8 sore                   21 WIB    -----------      pukul 9 sore

                

          Jika relasi antara elemen-elemen himpunan A dan B tersebut di atas, dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan, maka penulisannya adalah seperti tersebut di bawah ini.

ARB:{(pukul17WIB,pukul 5Sore), (pukul 18WIB,pukul 6sore), (pukul 19WIB,pukul 7Sore), (pukul 20WIB, pukul 8Sore), pukul (21WIB,pukul 9Sore)}

          Berdasar pada contoh penulisan himpunan sebagi pasangan berurutan antara himpunan A dan B di atas, bahwa relasi : “ pengertian waktu yang sama” pukul 17 WIB adalah pukul 5 sore, atau dapat dikatakan bahwa pukul 17.00 WIB adalah kongruen dengan pukul 5.00 sore.                                                                                                                              

A.   Kaitan Relasi Dengan Kongruensi   

1.    Jenis Relasi  

          Relasi antara satu anggota himpunan A yaitu pukul 17.00 WIB dan satu anggota himpunan B pukul 5.00 sore, secara matematika dapat diniotasikan sebagai :  “17y = 12x + 5” . Kalimat matematika : “17y = 12x + 5”, adalah merupakan persamaan linear dua variabel x dan y. Secara umum persamaan linear dua variabel x dan y dinotasikan dengan simbol : “ ax + by + c = o”  

          Perlu anda ketahui bahwa kalimat matematika : “17y = 12x + 5” , jika dinotasikan dalam bentuk kongruensi adalah sebagai :  “17 ≡ 5 ( mod 12 )”.

          Kongruensi merupakan relasi Eqivalensi. R adalah suatu relasi eqivalensi, jika dan hanya jika  merupakan relasi reflektif, relasi simetrik dan relasi transitif.

a.    Relasi reflektif, jika dan hanya jika  aRa untuk setiap a ε A , jika a ≡ a ( mod m)

      Contoh:  12 ≡ 12 ( mod 12)

                       12│ ( 12 – 12 )    . . . . definisi 1

                       12│0  artinya 0 habis dibagi 12 dan hasil penyelesainya = 0.

b.    Relasi Simetrik , jika dan hanya jika untuk setiap  a,b ε A, aRb membawakan  bRa;  Untuk setiap (a,b) ε R → ( b,a) ε R.

Contoh :  17 ≡ 5 ( mod 12 ), karena  12 │ ( 17 – 5 ) *).  . . . . definisi 1

                  5 ≡ 17 ( mod 12 ), karena  12 │ ( 5 – 17 )**)  . . .  definisi 1

Jadi 17 ≡ 5 ( mod 12 )*) membawakan 5 ≡ 17 ( mod 12 )**)

c.     Relasi transitif, jika dan hanya jika untuk setiap a,b,c ε A , (a,b) ε R ᴧ (b,c) ε R →  (a,c) ε R                                                                                                                                                       

Contoh :   17 ≡ 5 ( mod 12 ) ᴧ 18 ≡ 6 ( mod 12 ) membawakan 12 │( 17 – 5 )   + ( 18 – 6 ) atau

                   12 │ 35 – 11)  . . . defini 1

                   Jadi 35 ≡ 11 ( mod 12)  atau  11 ≡ 35 ( mod 12).        

B.    Solusi Persamaan Linear Menggunakan Kongruensi         

          Agar dapat mencari hasil penyelesaian (solusi ) persamaan linear menggunakan model kongruensi memerlukan aturan-aturan yang digunakannya, yaitu : definisi, sifat –sifat atau dalil, teorema-teorema antara lain seperti tersebut di bawah ini.

Definisi 1

          Apabila  a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, dan m suatu bilangan asli, maka a kongruen b modulo m, dinotasikan sebagai :

a ≡ b ( mod m ) jika dan hanya jika  m │(a – b ).  

Teorema 1

Apabila x_0, y₀ adalah penyelesaian dari persamaan ax + by = c , maka  x₀  + bt dan y₀ – at, t bilangan bulat, adalah juga penyelesaian dari persamaan ax + by = c

Bukti :

Karena x_{0, y} y₀  adalah penyelesaian dari persamaan ax + by = c, maka ax₀ + by₀ = c

a(x₀ + bt) + b( y₀ –at)= c

ax₀ + abt + by₀ –bat = c

 ax₀ + bat + by₀ –bat = c

ax₀ + by₀ + bat – bat = c

ax₀ + by₀ + 0 = c

Jadi ax₀ + by₀ = c ( terbukti)

Teorema 2

Apabila (a,b) ł c, maka ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian , dan apabila (a,b)│c, maka             ax + by = c mempunyai penyelesaian.

Bukti :

Misal terdapat bilangan bulat x_0, dan y₀  sedemikian sehingga ax₀ + by₀ = c. Karena (a,b)│ax₀ dan (a,b)│by_0, maka (a,b)│c. Sebaliknya (a,b)│c maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = m(a,b). Dengan demikian pula untuk bilangan bulat m, maka terdapat bilangan bulat r dan s , sedemikian sehingga ar + bs = (a,b)

Maka a(rm) + b(sm) = m(a,b)= c dan x = rm dan y = sm adalah penyelesaian persamaan ax + by = c.                                                                                                                 

Definisi 2

Himpunan bilangan-bilangan bulat r_1, r_{2, . . . . . ,} r_n , sedemikian sehingga setiap bilangan bulat nm kongruen dengan satu dan hanya satu r_1, r_{2, . . . . . ,} r_n,, dinamakan sistem residu lengkap modulo n.                                                                                                                                                                

Contoh 1. Himpunan A= { 0, 1, 3, 4 }

25 ≡ 0 ( mod 5) ; 

26 ≡ 1 ( mod 5)  ;  

27 ≡ 2 ( mod 5 ) ;

28 ≡ 3 ( mod 5 ) ;

 29 ≡ 4 ( mod 5)

Contoh 2. Himpunan B =  { -2, -1, 0, 1, 2 }

3 ≡ - 2 ( mod 5) ; 

4 ≡ - 1 ( mod 5) ;

0 ≡ 0 ( mod 5 ) ;

 1 ≡ 1 ( mod 5 ) ;

 2 ≡ 2 ( mod 5 )

Contoh 3. Himpunan C = { -30, - 29, -28, - 27 , - 26 }

5 ≡ -30  ( mod 5) ;

6 ≡ -29   ( mod 5) ;

7 ≡ - 28 ( mod 5 ) ;

8 ≡ - 27 ( mod 5 ) ;

9 ≡ - 26 ( mode 5 )   

          Untuk mencari hasil penyelesaian (solusi) persamaan linear dua variabel x dan y menggunakan model konggruiensi, perhatikan contoh tersebut di bawah ini.

Contoh 1. Carilah solusi dari 5x + 6y = 17 *)

Jawab :  6y ≡ 17 (mod 5 )

 5 = 5.1 dan 6 = 6.1, Jadi FPB bilangan 6 dan 5 adalah 1 dan dinotasika (5,6) = 1  

 (5,6) =1 ( FPB 5 dan 6 adalah satu), dan

 1│ 17 ( satu pembagi tujuh belas), maka persamaan linear : 5x + 6y = 17 mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian . . . . .  ( teorema 2)

 6y ≡ 17 (mod 5 )

 6y ≡ 12 (mod 5 )

 y ≡ 2 (mod 5 )

 y =( 2 – 5t ). . . .  ( teorema 1)     

  Substitusika ke persamaan *)

  5x + 6y = 17

  5x + 6 ( 2 – 5t) = 17                                                                                                                                  5x + 12 – 10t = 17                                                                                                                               

     5x – 10t = 5                                                                                                                             

     5x = 5 + 10t                   

     5x = 5( 1 + 2t )                                                                                                                                     

       X = ( 1 + 2t)  . . . . .  ( teorema 1).

        Untuk t = 0 maka x = 1  dan y = 2                                                                                                                       

Contoh 2. Cari solusi dari persamaan linear : 3x + 6y = 15  *)

Jawab :  6y ≡ 15 (mod 3)

                   3 = 3.1

                   6 = 3.2

                   Jadi FPB bilangan 3 dan 6 adalah 3  atau  ( 3,6 ) = 3   

                   3 │ 15  ( di baca 3 pembagi 15 ) maka persamaan 3x + 6y = 15 mempunyai tiga

    penyelesaian  ....  (teorema 2) 

    6y ≡ 15 (mod 3)

    2y ≡  5 (mod 3)

    2y≡  8 ( mod 3)

      y ≡  4 ( mod 3)

      y = 4 - 3t . . . . . ( teorema 1)

      Substitusikan y = ( 4 - 3t ) ke persamaan 3x + 6y = 15*)

     3x + 6(4 - 3t) = 15

      3x + 24 - 18t = 15

       3x + 9 - 18t = 0

        3x - 9 ( 1 + 2t ) = 0

         3x  =  9( 1 + 2t )

            x =  3( 1 +2 t )  . . . . ( teorema 1)                    

Untuk t = 0  :  maka  x = 3 dan y = -4  

Contoh 3. Cari solusi dari persamaan linear : 6x + 33 y = 15 

Jawab :

 ( 6,33) = 3 ( FPB bilangan 6 dan 33 adalah 3)

  3 │ 15  ( 3 pembagi 15) maka persamaan 6x + 33 y = 15  mempunyai tiga penyelesaian.

6x ≡ 15 (mod 33)

2x ≡ 5 (mod 11)

2x ≡ 16 (mod 11)

 x ≡ 8 (mod 11)

Jadi x = (8 + 11 t) 

Substitusikan x = (8 + 11 t) ke persamaan 6x + 33 y = 15 

6(8 + 11 t) + 33 y = 15

 48 + 66t + 33y = 15

33y = 15 – 48 – 66t

33y = - 33 – 66t

33y  = - 33( 1 + 2 t )

    Y = - 33( 1 + 2 t ) / 33   

    Y = - 1( 1+ 2t)

    Jadi solusi dari 6x + 33 y = 15  adalah x = (8 + 11 t)  dan y = - 1( 1+ 2t)

    Untuk t = 0 maka  x = 8   dan y = - 1

    Untuk t = 1 maka x = 19 dan y = - 3

                                                                                                                                                     

C.    Kesimpulan    

          Dari pembahasan konggruensi di atas maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

1.    Relasi ( hubungan) elemen-elemen dua himpunan dapat ditunjukkan melalui tiga cara yaitu gambar diagram panah, gambar Diagram Cartesius, dan himpunan pasangan terurut.

2.    Relasi yang bersifat reflektif,  transitif, dan simetrik disebut kongruensi

3.    Konggruensi dapat digunakan untuk solusi persamaan linear ax + by +c =0.                                                                                                                                                                                                                                                              

D.   Daftar Pustaka

Bachtiar Sjarif, 1990. Pengantar Dasar Matematika ( Himpunan dan Logika ). Bandung ;

                    Badan Penerbit FMIPA ITB.

Gatot Muhsetyo , 2003. Dasar Dasar Teori Bilangan. Malang: Badan Penerbit FP MIPA 

                Universitas Negeri Malang

Muchtar G, 1992. Pengantar Teori Bilangan. Padang : Badan Penerbit FP MIPA IKIP     

                    Negeri Padang.

Muchtar G, 1988. Ilmu  Bilangan. Padang : Badan Penerbit FP MIPA IKIP Negeri Padang.

Pantur Silaban, 1992. Teori Himpunan. Jakarta: Penerbit Erlangga

.  

Sartono Wirodikomo, 1995. Matematika. Jakarta: Penerbit Erlangga..

 .